Билеты по геометрии (7 класс) 1. Определение отрезка. Обозначение отрезка. Середина отрезка. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°, 4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы. Билет 2. 1. Определение луча. Обозначение луча. Определение биссектрисы угла. Построение биссектрисы угла при помощи циркуля и линейки (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. 3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 14 см, ∠E=30°. Найдите гипотенузу DE. 4. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 32°. Билет 3. 1. Определение угла. Обозначение угла. Построение угла, равного данному (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по трем сторонам. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине. 4. Углы треугольника АВС относятся так: ZA:ZB:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС. Билет 4. 1. Определение и свойство смежных углов (формулировка). 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника.

Решения заданий по геометрии для 7 класса.

Билет 1

1. Определение отрезка: Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками. Обозначение отрезка: AB или BA (где A и B - концы отрезка). Середина отрезка: Точка, делящая отрезок на две равные части. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки:

   1. Проведите отрезок AB.

   2. Из точки A проведите окружность радиусом больше половины длины отрезка AB.

   3. Из точки B проведите окружность тем же радиусом. Окружности пересекутся в двух точках, например, C и D.

   4. Проведите прямую CD. Точка пересечения прямой CD и отрезка AB является серединой отрезка AB.

2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°.

   Решение:

   Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно,

   $$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 46^{\circ} - 78^{\circ} = 56^{\circ}$$.

   Так как CE - биссектриса угла ACB, то

   $$\angle BCE = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 56^{\circ} = 28^{\circ}$$.

   Ответ: 28°.

4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы.

   Решение:

   Пусть вертикальные углы равны x, тогда смежный угол равен y.

   $$2x = 3y$$

   $$x + y = 180^{\circ}$$

   $$x = 180^{\circ} - y$$

   $$2(180^{\circ} - y) = 3y$$

   $$360^{\circ} - 2y = 3y$$

   $$5y = 360^{\circ}$$

   $$y = 72^{\circ}$$

   $$x = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$$

   Ответ: 108°.

Билет 2

1. Определение луча: Луч - это часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от данной точки. Обозначение луча: AB, где A - начало луча, B - любая точка на луче. Определение биссектрисы угла: Биссектриса угла - это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части. Построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки:

1. Из вершины угла O проведите окружность произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках A и B.

2. Из точек A и B проведите окружности радиусом больше половины расстояния между точками A и B. Окружности пересекутся в точке C.

3. Проведите луч OC. Луч OC - биссектриса угла AOB.

2. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 14 см, ∠E=30°. Найдите гипотенузу DE.

   Решение:

   В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть DF = 1/2 DE.

   DE = 2 * DF = 2 * 14 = 28 см.

   Ответ: 28 см.

4. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если ∠ABC = 32°.

   Решение:

   Пусть BE - биссектриса внешнего угла при вершине B, и BE || AC.

   Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠ABC = 180° - 32° = 148°.

   Так как BE - биссектриса, то ∠EBC = 1/2 * 148° = 74°.

   Так как BE || AC, то ∠CAB = ∠EBC = 74° (как соответственные углы).

   Ответ: 74°.

Билет 3

1. Определение угла: Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Обозначение угла: ∠AOB, где O - вершина угла, OA и OB - стороны угла. Построение угла, равного данному: (без доказательства).

2. Признак равенства треугольников по трем сторонам: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине.

   Решение:

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол при вершине равен x.

   Тогда 2 * 72° + x = 180°

   x = 180° - 144° = 36°

   Ответ: 36°.

4. Углы треугольника ABC относятся так: ZA:ZB:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

   Решение:

   Пусть углы треугольника равны x, 2x и 3x.

   x + 2x + 3x = 180°

   6x = 180°

   x = 30°

   Тогда углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.

   ВМ - биссектриса угла АВС, следовательно, ∠ABM = ∠MBC = 60°/2 = 30°.

   Рассмотрим треугольник BМС. В нем ∠MBC = 30°, ∠BCM = 90°, следовательно, ∠BMC = 60°.

   Следовательно, треугольник BMC - равнобедренный, и BС = МС

   Так как ВМ биссектриса, а углы 30°, 60° и 90°: то BМ = 6

   Рассмотрим треугольник АВС. В нём ∠A = 30°, ∠C = 90°. Следовательно, катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Значит, ВС = 1/2 АВ.

   ∠ABC = 60°.

   Соответственно, треугольник BМС равносторонний, то есть ВМ=МС.

   Так как известно, что ВМ биссектриса угла АВС равна 6, то и МС равна 6.

   Ответ: 6

Билет 4

1. Определение и свойство смежных углов: Смежные углы - это два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов равна 180°.
2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC. Тогда ∠DBA = ∠BAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB), и ∠EBC = ∠BCA (как накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AC и секущей BC). Сумма углов DВА, АВС и СВЕ равна 180° (так как они образуют развернутый угол). Следовательно, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника.

   Решение:

   Пусть боковая сторона равна x. Тогда периметр равен 2x + 7 = 19.

   2x = 12

   x = 6 см

   Ответ: 6 см.