Билет № 8 1. Центральные и вписанные углы: определение. Теорема о вписанном угле, следствия из нее. 2. Сформулируйте определение средней линии треугольника. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника. 3. Задача. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 10см, один из углов 45°. Найти расстояние между основаниями.

Билет №8

1. Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность. Он равен градусной мере дуги, на которую опирается.
   Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
   
   Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу, или половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
   
   Следствия из теоремы:
   1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
   2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), равен 90°.
2. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
   
   Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
3. Задача №3:

   Дано:

   • Прямоугольная трапеция ABCD (AB || CD, \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \))
   • Меньшая боковая сторона = 10 см (предположим, это AD = 10 см)
   • Один из углов = 45°. В прямоугольной трапеции это может быть \( \angle B \) или \( \angle C \). Так как \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \), то \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \). Если \( \angle B = 45^{\circ} \), то \( \angle C = 135^{\circ} \). Если \( \angle C = 45^{\circ} \), то \( \angle B = 135^{\circ} \). В данном случае, если AD — меньшая боковая сторона, то BC — большая, и \( \angle B \) будет больше 90°, а \( \angle C \) — меньше 90°. Следовательно, \( \angle C = 45^{\circ} \).

   Найти: Расстояние между основаниями (высоту трапеции, которая равна меньшей боковой стороне AD).

   Решение:

   В прямоугольной трапеции основаниями являются параллельные стороны, а боковыми — те, что не параллельны. Если \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \), то AD — высота трапеции. Расстояние между основаниями AB и CD — это высота трапеции.

   В условии сказано, что меньшая боковая сторона равна 10 см. В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям (т.е. высота), всегда меньше другой боковой стороны (если она не прямоугольная трапеция с равными боковыми сторонами, что бывает только в прямоугольнике).

   Значит, меньшая боковая сторона AD = 10 см.

   Угол в 45° может быть у основания BC. Пусть \( \angle C = 45^{\circ} \). Проведем высоту из вершины C к основанию AB, она будет равна AD. Или проведем высоту из вершины B к основанию CD.

   Давайте проведем высоту BH из вершины B к основанию CD. Тогда BH = AD = 10 см. Четырехугольник ABCD — прямоугольная трапеция, AB || CD.

   Если \( \angle C = 45^{\circ} \) (острый угол при большем основании), то мы можем построить прямоугольный треугольник BHC, где \( \angle BHC = 90^{\circ} \), \( \angle C = 45^{\circ} \), а BH = 10 см.

   Так как \( \angle C = 45^{\circ} \) и \( \angle BHC = 90^{\circ} \), то \( \angle HBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, треугольник BHC — равнобедренный прямоугольный треугольник, и BH = HC = 10 см.

   Расстояние между основаниями — это высота трапеции. В данном случае, меньшая боковая сторона AD является высотой, так как она перпендикулярна основаниям.

   Ответ: Расстояние между основаниями равно 10 см.