Билет № 7 1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основное тригонометрическое тождество 2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных фигур 3) Найдите градусную меру <MON, если известно, NP- диаметр, а градусная мера 2 MNP равна 18°. 0 M 4) Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту. проведённую к гипотенузе.

Билет № 7

1. Тригонометрические функции острого угла

• Синус (sin): Отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус (cos): Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс (tg): Отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
• Формулы: Для острого угла $$\alpha$$ в прямоугольном треугольнике с катетами $$a$$, $$b$$ и гипотенузой $$c$$:
• $$\( \sin \alpha = \frac{a}{c} \)$$
• $$\( \cos \alpha = \frac{b}{c} \)$$
• $$\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)$$
• Основное тригонометрическое тождество:
• $$\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)$$

2. Теорема об отношении площадей подобных фигур

• Формулировка: Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
• Доказательство: Пусть даны две подобные фигуры F1 и F2 с коэффициентом подобия $$k$$. Это означает, что отношение любых соответствующих линейных размеров (сторон, высот, радиусов и т.д.) равно $$k$$. Пусть $$L_1$$ - линейный размер фигуры F1, а $$L_2$$ - соответствующий линейный размер фигуры F2. Тогда $$\( \frac{L_2}{L_1} = k \)$$ или $$\( L_2 = k · L_1 \)$$.
• Площадь фигуры может быть выражена через её линейные размеры. Например, для треугольника площадь $$S = \frac{1}{2} \text{основание} \times ext{высота}$$.
• Пусть $$S_1$$ - площадь фигуры F1, а $$S_2$$ - площадь фигуры F2.
• Если $$S_1$$ зависит от линейных размеров $$L_{1a}, L_{1b}, …$$, то $$S_2$$ будет зависеть от $$L_{2a}, L_{2b}, …$$, где $$\( L_{2a} = k · L_{1a} \)$$, $$\( L_{2b} = k · L_{1b} \)$$ и т.д.
• Таким образом, площадь $$S_2$$ будет пропорциональна произведению $$k · L_{1a} · k · L_{1b} … = k^2 · (L_{1a} · L_{1b} …)$$.
• Следовательно, отношение площадей $$\( \frac{S_2}{S_1} = k^2 \)$$.
• Вывод: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

3. Угол MON

• NP - диаметр окружности.
• Градусная мера угла MNP равна 18°.
• Так как NP - диаметр, то угол NMP, опирающийся на диаметр, равен 90° (прямой угол).
• В треугольнике MNP:
• é{angle MNP} = 18°
• é{angle NMP} = 90°
• Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, угол MPN = 180° - 90° - 18° = 72°.
• Угол MON - центральный угол, опирающийся на дугу MN.
• Угол MNP - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу MN.
• Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Следовательно, градусная мера дуги MN = 2 * é{angle MNP} = 2 * 18° = 36°.
• Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Следовательно, é{angle MON} = градусная мера дуги MN = 36°.

Ответ: 36°

4. Высота прямоугольного треугольника

• Катеты прямоугольного треугольника равны $$a = 15$$ и $$b = 20$$.
• Найдем гипотенузу $$c$$ по теореме Пифагора:
• \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
• \[ c^2 = 15^2 + 20^2 \]
• \[ c^2 = 225 + 400 \]
• \[ c^2 = 625 \]
• \[ c = \sqrt{625} = 25 \]
• Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
• Через катеты: $$S = \frac{1}{2} · a · b$$
• Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней ($$h$$): $$S = \frac{1}{2} · c · h$$
• Приравняем оба выражения для площади:
• \[ \frac{1}{2} · a · b = \frac{1}{2} · c · h \]
• \[ a · b = c · h \]
• Выразим высоту $$h$$:
• \[ h = \frac{a · b}{c} \]
• Подставим значения:
• \[ h = \frac{15 · 20}{25} \]
• \[ h = \frac{300}{25} \]
• \[ h = 12 \]

Ответ: 12