Билет 4. 1. Определение и свойство вертикальных углов (формулировка). 2. Доказать теорему о сумме углов треугольника. 3. Доказать равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше другого. Чему равны эти углы?

Билет 4.

1. Вертикальные углы — это углы, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют только одну общую вершину, при этом стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.


2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180°.


3. Доказательство равенства треугольников ADM и AFE:
   
   
   
   1. Дан рисунок, на котором изображены треугольники ADM и AFE.
   
   
   2. Углы ∠ADM и ∠AFE являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и FE и секущей DF. Следовательно, \( \angle ADM = \angle AFE \).
   
   
   3. Углы ∠AMD и ∠AEF являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AM и EF и секущей DE. Следовательно, \( \angle AMD = \angle AEF \).
   
   
   4. Угол ∠DAF является общим для обоих треугольников.
   
   
   5. По двум углам и прилежащей к ним стороне (второй признак равенства треугольников) или по двум углам и стороне (третий признак равенства треугольников, если стороны AD=AF и AM=AE) можно доказать равенство треугольников ADM и AFE.
   
   
   6. Уточнение: На рисунке изображен параллелограмм ADFE. Диагонали в параллелограмме делят его на два равных треугольника. Если AD || FE и AF || DE, то AD=FE и AF=DE. Угол ∠DAF общий. По первому признаку (две стороны и угол между ними), треугольники ADM и AFE равны, если M=E, а D=F. Однако, из рисунка видно, что ADM и AFE — это не соседние треугольники, а часть более крупной фигуры. Скорее всего, речь идет о равенстве треугольников ADM и AFE, где AD || EF и AM || DF. В этом случае, AD = EF и AM = DF. Угол ∠DAF является общим. Тогда по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) \( \triangle ADM = \triangle AFE \).
   
   
   
   


4. Решение:
   
   
   
   1. Пусть один из внутренних односторонних углов равен \( x \).
   
   
   2. Тогда другой угол равен \( 3x \).
   
   
   3. Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей равна 180°.
   
   
   4. \( x + 3x = 180° \)
   
   
   5. \( 4x = 180° \)
   
   
   6. \( x = 180° / 4 = 45° \)
   
   
   7. Второй угол равен \( 3x = 3 \cdot 45° = 135° \)
   
   
   
   Ответ: Углы равны 45° и 135°.