Билет № 4. 1. Наклонная, проведенная из данной точки к прямой, расстояние от точки до прямой. 2. Параллельные прямые (определение). Свойства параллельности двух прямых. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 4. Прямые m и n параллельны. Найдите 23, если ∠1 = 22°, ∠2 = 72°. Ответ дайте в градусах.

Задача 3:

Для нахождения расстояния от точки А до середины отрезка ВС, нам нужно определить координаты точек А, В и С на клетчатой бумаге. Предположим, что точка С находится в начале координат (0,0).

По изображению:

• Точка В находится в (0, 4).
• Точка С находится в (0, 0).
• Точка А находится в (3, 2).

1. Находим середину отрезка ВС:

Координаты середины отрезка (x_m, y_m) вычисляются по формулам:

\[ x_m = \frac{x_B + x_C}{2} \]

\[ y_m = \frac{y_B + y_C}{2} \]

Подставляем координаты В(0, 4) и С(0, 0):

\[ x_m = \frac{0 + 0}{2} = 0 \]

\[ y_m = \frac{4 + 0}{2} = 2 \]

Таким образом, середина отрезка ВС имеет координаты (0, 2).

2. Находим расстояние от точки А до середины отрезка ВС:

Используем формулу расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Точка А имеет координаты (3, 2), а середина отрезка ВС - (0, 2).

\[ d = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 2)^2} \]

\[ d = \sqrt{(-3)^2 + (0)^2} \]

\[ d = \sqrt{9 + 0} \]

\[ d = \sqrt{9} \]

\[ d = 3 \]

Ответ: 3 см

Задача 4:

Прямые m и n параллельны. Секущая пересекает их, образуя углы.

Известно:

• \[ \angle 1 = 22^{\circ} \]
• \[ \angle 2 = 72^{\circ} \]

1. Находим смежный угол для ∠2:

Угол, смежный с ∠2, обозначим как ∠5. Сумма смежных углов равна 180°.

\[ \angle 5 = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \]

2. Находим ∠3:

Угол ∠3 и ∠5 являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых m и n и секущей. Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

\[ \angle 3 + \angle 5 = 180^{\circ} \]

\[ \angle 3 = 180^{\circ} - \angle 5 = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \]

Альтернативный способ (через накрест лежащие углы):

Угол ∠1 и угол, накрест лежащий с ∠3, равны.

Угол ∠1 = 22°.

Угол, накрест лежащий с ∠3, равен 22°.

Угол ∠2 = 72°.

Угол, соответствующий ∠2, равен 72°.

Угол ∠3 и соответствующий ему угол (при параллельных m и n и секущей) составляют вместе 180°, но это не так.

Давай рассмотрим углы, которые образует секущая с прямой n. Угол 72° - это ∠2. Угол, который является вертикальным к ∠1, равен 22°. Угол ∠3 и угол 72° (∠2) являются накрест лежащими относительно другой секущей, но это другая секущая.

Правильное решение через соответственные углы:

Угол ∠1 = 22°.

Угол, соответствующий ∠1 (на прямой n), будет равен 22°.

Угол ∠2 = 72°.

Угол ∠3 и угол ∠2 являются смежными, если бы секущие были одной прямой, но они разные.

Рассмотрим углы, образуемые секущими с параллельными прямыми m и n.

Угол ∠1 = 22°.

Угол, накрест лежащий с ∠1, равен 22°.

Угол ∠2 = 72°.

Угол, соответственный ∠2, равен 72°.

Давай используем теорему о сумме углов треугольника, образованного секущими и параллельными прямыми.

Угол между двумя секущими в точке их пересечения можно найти. У нас есть два угла: 22° и 72°. Эти углы образуются накрест с углами, которые примыкают к углам ∠3.

Пусть секущая, образующая ∠1 и ∠3, будет S1. Пусть секущая, образующая ∠2, будет S2.

Угол между прямой m и S1 = 22° (соответственный ∠1).

Угол между прямой n и S2 = 72° (соответственный ∠2).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя секущими и прямой m (или n). Угол ∠3 - внешний угол для некоторого треугольника.

Посмотрим на рисунок внимательнее:

Прямые m и n параллельны.

Одна секущая пересекает m и n, образуя ∠1 и ∠3.

Вторая секущая пересекает m и n, образуя ∠2.

Угол ∠1 = 22°.

Угол ∠2 = 72°.

Угол ∠3 - ?

Угол, смежный с ∠1, равен 180° - 22° = 158°.

Угол, смежный с ∠2, равен 180° - 72° = 108°.

Рассмотрим углы, которые образует вторая секущая с прямой m.

Угол ∠2 = 72°.

Угол, соответствующий ∠2, на прямой m равен 72°.

Угол, накрест лежащий с ∠2, равен 72°.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный двумя секущими и прямой m.

Угол при прямой m, образованный первой секущей, равен 22° (∠1).

Угол при прямой m, образованный второй секущей, равен 72° (соответственный ∠2).

Сумма этих углов = 22° + 72° = 94°.

Этот угол является частью угла на прямой m. Мы ищем ∠3.

Рассмотрим внутренние односторонние углы.

Угол ∠1 = 22°.

Угол ∠2 = 72°.

Угол ∠3.

Пусть секущая, которая образует ∠1 и ∠3, будет L1. Пусть секущая, которая образует ∠2, будет L2.

Угол между m и L1 = 22° (∠1).

Угол между n и L1 = ∠3.

Угол между m и L2 = 72° (соответственный ∠2).

Угол между n и L2 = 72° (∠2).

Рассмотрим угол, который образует L2 с прямой m. Он равен 72°.

Рассмотрим угол, который образует L1 с прямой m. Он равен 22° (∠1).

Угол между двумя секущими на прямой m равен 72° - 22° = 50° (или 180° - (72°+22°) = 86°, в зависимости от того, как они пересекаются).

Теперь рассмотрим прямую n.

Угол, соответствующий ∠1, равен 22°.

Угол ∠2 = 72°.

Угол ∠3 является внешним углом для треугольника, образованного прямой n и двумя секущими.

Внешний угол равен сумме двух внутренних противоположных углов.

Углы внутри треугольника на прямой n будут:

1. Угол, смежный с ∠2, равен 180° - 72° = 108°.

2. Угол, соответствующий ∠1, равен 22°.

Сумма углов треугольника: 108° + 22° + угол_на_прямой_n = 180°.

Угол на прямой n = 180° - 108° - 22° = 50°.

Угол ∠3 является внешним углом к этому треугольнику, смежным с углом 50°.

\[ \angle 3 = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \]

Проверим еще раз.

∠1 = 22°

∠2 = 72°

m || n

Пусть секущая L1 образует ∠1 с m, и ∠3 с n.

Пусть секущая L2 образует ∠2 с n.

Угол, накрест лежащий с ∠3, равен ∠3.

Угол, соответственный ∠1, равен 22°.

Угол, соответственный ∠2, равен 72°.

Рассмотрим прямую m.

Угол ∠1 = 22°.

Угол, образованный L2 с m, равен 72° (соответственный ∠2).

Угол между L1 и L2 на прямой m равен |72° - 22°| = 50°.

Теперь рассмотрим прямую n.

Угол ∠2 = 72°.

Угол, образованный L1 с n, равен ∠3.

Угол, соответствующий ∠1, равен 22°.

Угол между L1 и L2 на прямой n равен ∠3.

Углы между двумя секущими на параллельных прямых равны.

Следовательно, угол между L1 и L2 на прямой m равен углу между L1 и L2 на прямой n.

50° = ∠3.

Ответ: 50°