БИЛЕТ №3. 1. Выпуклый многоугольник. Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны, противоположные вершины. Сумма углов выпуклого многоугольника. 2. Четыре замечательные точки треугольника (без доказательства). 3. Задача на тему «Прямоугольник». В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е - середина стороны АВ, угол ВАС равен 50°. Найдите угол EAD.

Диагонали: AC, BD (синие линии на чертеже).

Противоположные стороны: AB и CD, BC и AD.

Противоположные вершины: A и C, B и D.

Сумма углов выпуклого многоугольника с n сторонами равна \( (n-2) \cdot 180° \). Для четырёхугольника (n=4) сумма углов равна \( (4-2) \cdot 180° = 360° \).

2. Четыре замечательные точки треугольника:

• Точка пересечения медиан (центроид): Делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.


• Точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности): Равноудалена от сторон треугольника.


• Точка пересечения высот (ортоцентр):


• Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности): Равноудалена от вершин треугольника.

3. Задача на тему «Прямоугольник»

Дано:

ABCD — прямоугольник.

Диагонали пересекаются в точке О.

E — середина стороны AB.

∠BAC = 50°.

Найти: ∠EAD.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = BO = CO = DO.

Рассмотрим треугольник ABO. Так как AO = BO, то он равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠ABO = ∠BAO = 50°.

Сумма углов треугольника ABO равна 180°:

∠AOB + ∠BAO + ∠ABO = 180°

∠AOB + 50° + 50° = 180°

∠AOB = 180° - 100° = 80°.

Так как ABCD — прямоугольник, то ∠DAB = 90°.

∠DAB = ∠EAD + ∠BAE. Но ∠BAE = ∠BAC = 50°.

∠DAB = ∠EAD + ∠BAC

90° = ∠EAD + 50°

∠EAD = 90° - 50° = 40°.

Ответ: 40°.