Билет 3. 1. Определение и свойство смежных и вертикальных углов (формулировка). 2. Доказать признак равенства треугольников по трем сторонам. 3. Укажите номера верных утверждений: 1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 3. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 4. Докажите, что угол 1 равен углу 2.

Билет 3

Задание 3. Верные утверждения

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Это утверждение верно. Это одна из формулировок пятого постулата Евклида (аксиома параллельных прямых).

2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Это утверждение неверно. В тупоугольном треугольнике только один угол тупой (больше 90°), а два других угла — острые (меньше 90°). Сумма углов треугольника равна 180°.

3. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Это утверждение неверно. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. В данном случае: \( 1 + 2 = 3 \), что меньше 4. Значит, такой треугольник не существует.

Ответ: 1.

Задание 4. Доказательство равенства углов

Дано:

• Треугольник ABC
• AD — биссектриса угла A
• BE — биссектриса угла B
• Пересечение биссектрис — точка O
• \( \angle BAD = \angle CAD \) (по определению биссектрисы)
• \( \angle ABE = \angle CBE \) (по определению биссектрисы)
• \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — углы, образованные биссектрисой AD и стороной AC, и биссектрисой BE и стороной BC соответственно.
• (Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) — это \( \angle DAC \), а \( \angle 2 \) — это \( \angle EBC \) )

Доказать: \( \angle 1 = \angle 2 \) (то есть \( \angle DAC = \angle EBC \)).

Доказательство:

1. Мы знаем, что \( \angle 1 \) — это половина угла A, так как AD — биссектриса: \( \angle 1 = \angle A / 2 \).
2. Аналогично, \( \angle 2 \) — это половина угла B, так как BE — биссектриса: \( \angle 2 = \angle B / 2 \).
3. Чтобы \( \angle 1 = \angle 2 \), должно выполняться условие \( \angle A / 2 = \angle B / 2 \), что равносильно \( \angle A = \angle B \).
4. Рассмотрим треугольник ABC. Если \( \angle A = \angle B \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Это означает, что стороны AC и BC равны: \( AC = BC \).
5. В этом случае, так как \( AC = BC \) и биссектрисы углов A и B делят эти равные углы пополам, то и отрезки биссектрис, лежащие на сторонах AC и BC, будут равны.
6. Однако, задание, скорее всего, подразумевает, что треугольник ABC равнобедренный, и нужно доказать, что углы 1 и 2 равны.
7. Предположим, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AB (это следует из симметрии рисунка, где углы 1 и 2 выглядят равными, а биссектрисы проведены к сторонам AC и BC). Тогда \( \angle A = \angle B \).
8. Так как \( \angle A = \angle B \), то \( \angle A / 2 = \angle B / 2 \).
9. \( \angle 1 = \angle A / 2 \) и \( \angle 2 = \angle B / 2 \).
10. Следовательно, \( \angle 1 = \angle 2 \).
11. Если же треугольник ABC равнобедренный с основанием BC (то есть \( AB = AC \)), тогда \( \angle B = \angle C \). В этом случае, \( \angle A \) может быть любым. Тогда \( \angle 1 = \angle A / 2 \) и \( \angle 2 = \angle B / 2 \). Они не обязательно будут равны.
12. Наиболее вероятное условие, исходя из рисунка и формулировки, это то, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB.
13. Другой вариант интерпретации: Если \( \angle 1 \) — это часть угла A, а \( \angle 2 \) — это часть угла B, и при этом \( \angle A = \angle B \) (то есть треугольник ABC равнобедренный с основанием BC), тогда \( \angle A / 2 = \angle B / 2 \), что означает \( \angle 1 = \angle 2 \).

Вывод (исходя из наиболее вероятной интерпретации, что \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием BC):

Если \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием BC, то \( AB = AC \) и \( \triangle B = \triangle C \). Это не приводит к равенству \( \triangle A \) и \( \triangle B \).

Если предположить, что \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AB, то \( AC = BC \) и \( \triangle A = \triangle B \).

Тогда \( \frac{\triangle A}{2} = \frac{\triangle B}{2} \), что означает \( \triangle 1 = \triangle 2 \).

Окончательный ответ, основанный на стандартной трактовке подобных задач:

Доказательство:

1. По условию AD — биссектриса \( \triangle A \), значит \( \triangle 1 = \frac{\triangle A}{2} \).
2. По условию BE — биссектриса \( \triangle B \), значит \( \triangle 2 = \frac{\triangle B}{2} \).
3. Из рисунка следует, что \( \triangle ABC \) является равнобедренным, где \( \triangle A = \triangle B \). (Это можно доказать, например, если стороны AC и BC равны, и углы при основании AB равны, но по рисунку основание AB, а не BC).
4. Если \( \triangle A = \triangle B \), то \( \frac{\triangle A}{2} = \frac{\triangle B}{2} \).
5. Следовательно, \( \triangle 1 = \triangle 2 \).

Угол 1 равен углу 2, если треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB (то есть \( AC = BC \)).