БИЛЕТ № 16. 1. Дайте определение окружности. Что такое центр, хорда и диаметр окружности. Как связаны радиус и диаметр окружности? Сделайте рисунок. 2. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника? 3. В треугольнике АВС известно, что АС = 54 BM - медиана, ВМ = 43. Найдите AM.

Решение:

1. Окружность — это множество точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Центр окружности — точка, от которой равноудалены все точки окружности.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус (r) — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Радиус равен половине диаметра.

Связь радиуса и диаметра: \( d = 2r \), где \( d \) — диаметр, \( r \) — радиус.

Рисунок:

2. Доказательство неравенства треугольника:

Пусть даны три отрезка \( a, b, c \). Чтобы из них можно было составить треугольник, сумма длин любых двух отрезков должна быть больше длины третьего отрезка:

• \( a + b > c \)
• \( a + c > b \)
• \( b + c > a \)

Доказательство:

Предположим, что \( a + b ≤ c \).

Возьмем отрезок AC длиной \( b \) и отрезок CB длиной \( a \). Соединим точки A и B. Тогда длина отрезка AB равна \( c \).

Если \( a + b = c \), то точки A, C, B лежат на одной прямой, и треугольник не образуется.

Если \( a + b < c \), то, чтобы соединить точки A и B, нужно провести отрезок AB. Точка C будет находиться где-то вне этого отрезка. В этом случае сумма длин отрезков AC и CB будет меньше длины отрезка AB.

Следовательно, для существования треугольника необходимо, чтобы сумма длин любых двух его сторон была больше длины третьей стороны.

3. Решение:

В треугольнике ABC дано: \( AC = 54 \), BM — медиана, \( BM = 43 \).

Медиана BM делит сторону AC пополам. Значит, \( AM = MC = \frac{1}{2} AC \).

\( AM = \frac{1}{2} \times 54 = 27 \).

Ответ: 27.