Билет №15. 1.Доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд. 2.Теорема Фалеса. Деление отрезка на п-равных отрезков. 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите ее площадь. 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 40 см² и одна сторона больше другой на 3 см

Решение:

1. Трапеция:

   На клетчатой бумаге изображена трапеция. Подсчитаем ее площадь:

   • Верхнее основание (\(a\)) = 2 клетки (2 см).
   • Нижнее основание (\(b\)) = 4 клетки (4 см).
   • Высота (\(h\)) = 3 клетки (3 см).
   • Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]
   • \[ S = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} \times 3 \text{ см} \]
   • \[ S = \frac{6 \text{ см}}{2} \times 3 \text{ см} = 3 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2 \]
2. Прямоугольник:

   Дано:

   • Площадь (\(S\)) = 40 см²
   • Одна сторона больше другой на 3 см.

   Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см. Тогда другая сторона равна \(x + 3\) см.

   Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

   \[ S = \text{длина} \times \text{ширина} \]

   Подставим известные значения:

   \[ 40 = x \times (x + 3) \]

   \[ 40 = x^2 + 3x \]

   Приведем уравнение к квадратному виду:

   \[ x^2 + 3x - 40 = 0 \]

   Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта (\(D = b^2 - 4ac\)):

   • \(a = 1, b = 3, c = -40\)
   • \[ D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-40) = 9 + 160 = 169 \]
   • \[ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \]

   Найдем корни уравнения:

   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2 \times 1} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2 \times 1} = \frac{-16}{2} = -8 \text{ см} \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то \(x = 5\) см.

Стороны прямоугольника равны:

• 5 см
• 5 см + 3 см = 8 см

Найдем периметр прямоугольника:

\[ P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина}) \]

\[ P = 2 \times (5 \text{ см} + 8 \text{ см}) \]

\[ P = 2 \times 13 \text{ см} = 26 \text{ см} \]

Ответ: Площадь трапеции 9 см², периметр прямоугольника 26 см.