Билет 15. 1. Дайте определение секущей. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. Докажите свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение. 3. Луч BD проходит между сторонами угла АВС. Найти угол DBC, если угол АВС равен 63, угол ABD равен 51. 4. В треугольнике АВС (АВ=ВС) на сторонах АВ и ВС отложены равные отрезки АМ и CN соответственно. Докажите, что AN=CM.

1. Определение секущей и углов

Секущая – это прямая, которая пересекает две другие прямые.

При пересечении двух прямых секущей образуются следующие пары углов:

• Односторонние углы: углы, которые лежат по одну сторону от секущей и между двумя данными прямыми.
• Накрест лежащие углы: углы, которые лежат по разные стороны от секущей и между двумя данными прямыми.
• Соответственные углы: углы, которые лежат по одну сторону от секущей, причем один из них – между данными прямыми, а другой – вне их.

2. Свойство катета прямоугольного треугольника

Теорема: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (\( \angle C = 90^ \)), и \( \angle A = 30^ \). Тогда катет BC лежит против угла A.
2. Построим треугольник ABD, равный треугольнику ABC, приложив его к треугольнику ABC по стороне AC так, чтобы точка B оказалась на одной прямой с точкой D, а точки B и D лежали по разные стороны от прямой AC.
3. Треугольник ABD является равнобедренным, так как \( \angle BAC = \angle BAD = 30^ \), а \( \angle ABC = \angle ABD = 90^ \).
4. \( \angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = 90^ + 90^ = 180^ \), значит, точки C, B, D лежат на одной прямой.
5. \( \angle ACB = \angle ADB = 90^ \).
6. \( \angle CAD = \angle BAC + \angle BAD = 30^ + 30^ = 60^ \).
7. Так как треугольник ABD равнобедренный и \( \angle CAD = 60^ \), то он равносторонний. Следовательно, AB = AD = BD.
8. По построению, \( BD = BC + CD \). Так как треугольники ABC и ADC равны, то \( BC = CD \).
9. Таким образом, \( BD = BC + BC = 2BC \).
10. Поскольку \( BD = AB \), то \( AB = 2BC \), что и требовалось доказать.

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

3. Нахождение угла DBC

Из условия известно, что луч BD проходит между сторонами угла ABC. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).

Нам дано:

• \( \angle ABC = 63^ \)
• \( \angle ABD = 51^ \)

Подставим известные значения в формулу:

\( 63^ = 51^ + \angle DBC \)

Выразим \( \angle DBC \):

\( \angle DBC = 63^ - 51^ \)

\( \angle DBC = 12^ \)

Ответ: \( \angle DBC = 12^ \).

4. Доказательство равенства отрезков AN и CM

Дано:

• Треугольник ABC, \( AB = BC \) (равнобедренный).
• На сторонах AB и BC отложены равные отрезки: \( AM = CN \).

Доказать: \( AN = CM \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ANC и CMA.
2. У нас есть \( AC = AC \) (общая сторона).
3. Нам дано, что \( AM = CN \).
4. Однако, для равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, нам нужен \( \angle A \) и \( \angle C \) в треугольниках CMA и ANC, или \( \angle MAC \) и \( \angle NCA \).
5. Рассмотрим другой подход. Рассмотрим треугольники ABС. Так как \( AB = BC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
6. Рассмотрим \( \triangle AM C \) и \( \triangle CN A \).
7. У нас дано, что \( AM = CN \).
8. У нас есть \( AC \) - общая сторона.
9. Для доказательства равенства \( AN = CM \) можно рассмотреть равенство треугольников \( \triangle AMC \) и \( \triangle CNA \) по двум сторонам и углу между ними, но мы не знаем \( \angle MAC \) и \( \angle NCA \).
10. Проверим условие задачи. В условии сказано, что AM и CN — равные отрезки, отложенные на сторонах AB и BC.
11. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Поскольку \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
12. Рассмотрим \( \triangle ANC \) и \( \triangle CMA \).
13. У нас есть:
• \( AC = AC \) (общая сторона).
• \( CN = AM \) (по условию).
• \( \angle CAN \) и \( \angle ACM \) — мы не знаем, равны ли они.
14. Давайте рассмотрим треугольники \( \triangle AMC \) и \( \triangle CNA \).
15. Мы знаем, что \( AM = CN \) (по условию).
16. Мы знаем, что \( AC = AC \) (общая сторона).
17. Нам нужно доказать \( AN = CM \).
18. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Поскольку \( AB = BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
19. Пусть \( AM = x \) и \( CN = x \).
20. Тогда \( AN = AB - NB \) и \( CM = BC - BM \).
21. Это неверно. \( AN \) и \( CM \) - это не стороны треугольников.
22. Рассмотрим \( \triangle ANC \) и \( \triangle CMA \).
23. У нас есть \( AC = AC \) (общая сторона).
24. У нас есть \( AM = CN \) (по условию).
25. Нам нужно доказать \( AN = CM \).
26. Рассмотрим \( \triangle AMC \) и \( \triangle CNA \).
27. У нас есть \( AM = CN \) (по условию).
28. У нас есть \( AC = AC \) (общая сторона).
29. Нам нужно найти еще одно условие для равенства треугольников.
30. Посмотрим на углы.
31. \( \angle A \) в \( \triangle AMC \) — это \( \angle BAC \). \( \angle C \) в \( \triangle CNA \) — это \( \angle BCA \).
32. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB=BC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
33. Теперь рассмотрим \( \triangle AMC \) и \( \triangle CNA \).
34. У нас есть:
• \( AM = CN \) (по условию).
• \( \angle MAC = \angle NCA \) (поскольку \( \angle BAC = \angle BCA \)).
• \( AC = AC \) (общая сторона).
35. Таким образом, \( \triangle AMC \) равен \( \triangle CNA \) по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников: сторона-угол-сторона, но здесь угол при вершине).
36. Поскольку \( \triangle AMC \) = \( \triangle CNA \), то соответствующие стороны равны.
37. Следовательно, \( AN = CM \).

Доказано.