Билет 14. 1. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Доказать свойство внешнего угла треугольника. 3. Доказать, что прямые а и в параллельны. [Image showing two parallel lines intersected by a transversal, with angles labeled 133° and 47°] 4. В прямоугольном треугольнике КРЕ \(∠P = 90^°\), \(∠K = 60^°\). На катете РЕ отметили точку М такую, что \(∠KMP = 60^°\). Найдите РМ, если ЕМ = 16 см.

Билет 14

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. По двум катетам: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2. По катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. По катету и противолежащему острому углу: Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
4. По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
5. По гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

2. Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это доказывается из того, что сумма углов треугольника равна \(180^°\), а смежные углы в сумме дают \(180^°\).

3. Доказательство параллельности прямых a и b:

Угол \(133^°\) и смежный с ним угол (назовем его \( \text{a} \) ) в сумме дают \(180^°\). Следовательно, \( \text{a} = 180^° - 133^° = 47^°\). Угол \(47^°\) и данный угол \(47^°\) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \(a\) и \(b\) секущей. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.

4. Решение:

1. Дано: \( \triangle KPE \) — прямоугольный, \( \text{ extdegree} P = 90^° \), \( \text{ extdegree} K = 60^° \). На катете \( PE \) точка \( M \) такая, что \( \text{ extdegree} KMP = 60^° \). \( EM = 16 \) см.
2. Найти: \( PM \).
3. Решение:
• В \( \triangle KPE \) найдем \( \text{ extdegree} E \): \( \text{ extdegree} E = 180^° - 90^° - 60^° = 30^° \).
• Рассмотрим \( \triangle KME \). Угол \( \text{ extdegree} KME = 180^° - \text{ extdegree} KMP = 180^° - 60^° = 120^° \) (как смежные).
• Теперь в \( \triangle KME \) известны два угла: \( \text{ extdegree} E = 30^° \) и \( \text{ extdegree} KME = 120^° \). Найдем третий угол \( \text{ extdegree} MKE \): \( \text{ extdegree} MKE = 180^° - 120^° - 30^° = 30^° \).
• Так как в \( \triangle KME \) \( \text{ extdegree} E = \text{ extdegree} MKE = 30^° \), то этот треугольник равнобедренный с основанием \( KM \). Следовательно, \( ME = KE = 16 \) см.
• Теперь рассмотрим \( \triangle KPE \). Мы знаем, что \( \text{ extdegree} K = 60^° \) и \( KE = 16 \) см. Это прямоугольный треугольник с углом \(30^°\) (угол \(E\)). В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в \(30^°\), равен половине гипотенузы. Значит, \( KP = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \) см.
• Чтобы найти \( PM \), нам нужно знать \( PE \). Используем теорему Пифагора в \( \triangle KPE \): \( PE^2 = KE^2 - KP^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192 \). \( PE = \text{\sqrt{192}} = \text{\sqrt{64 \times 3}} = 8\text{\sqrt{3}} \) см.
• \( PM = PE - EM = 8\text{\sqrt{3}} - 16 \) см.

Ответ: \( 8\text{\sqrt{3}} - 16 \) см.