Билет 11. 1. Определение окружности. Центр, радиус, хорда, диаметр и дуга окружности. 2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. <ABC=<DCB=90°, AC=BD. Доказать, что AD=CD. D C 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, проведенные из вершин N и Р, пересекаются в точке К, ЛТ = 56°. Найдите угол МКР.

1. Определение окружности и ее элементов:

• Окружность: Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.
• Центр окружности: Точка, от которой все точки окружности равноудалены.
• Радиус (R): Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Также это расстояние от центра до любой точки на окружности.
• Хорда: Отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.
• Диаметр (D): Хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам ($$D = 2R$$).
• Дуга окружности: Часть окружности, ограниченная двумя точками.

2. Доказательство свойства углов при основании равнобедренного треугольника:

Свойство: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где $$AB = BC$$ (основание AC). Проведем биссектрису BD из вершины B к основанию AC.

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
2. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$.
3. $$AB = CB$$ (по условию, так как треугольник равнобедренный).
4. $$BD = BD$$ (общая сторона).
5. $$\angle ABD = \angle CBD$$ (так как BD – биссектриса).
6. Следовательно, $$\triangle ABD = \triangle CBD$$ по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
7. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в том числе $$\angle BAD = \angle BCD$$.

3. Доказательство равенства отрезков AD и CD:

Дано: $$\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$$, $$AC = BD$$. Доказать: $$AD = CD$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCB$$.

1. $$\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$$ (по условию).
2. $$BC$$ – общий катет для обоих треугольников.
3. $$AC = BD$$ (по условию – это гипотенузы, если мы рассматриваем другие треугольники, или диагонали в трапеции ABCD).

   Переосмыслим задачу: Условие $$\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$$ и $$AC = BD$$ намекает на трапецию ABCD, где BC – высота, а AC и BD – диагонали. Если $$AC = BD$$, то трапеция является равнобедренной.

   Если ABCD – трапеция с прямыми углами при основании BC, то BC || AD (если AC=BD, то это равнобедренная трапеция).

   В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, т.е. $$AB = CD$$.

   Однако, нужно доказать $$AD = CD$$. Это возможно, если трапеция будет частным случаем, например, прямоугольником. Но условий для этого недостаточно.

   Рассмотрим другую интерпретацию:

   Пусть A, B, C, D – точки. $$\angle ABC = 90^\circ$$ и $$\angle DCB = 90^\circ$$. Это означает, что точки A и D лежат на окружности с диаметром AC (для $$\angle ABC=90$$) и на окружности с диаметром DB (для $$\angle DCB=90$$).

   Если $$AC = BD$$, то эти окружности имеют одинаковый радиус.

   Вернемся к трапеции:

   Если ABCD – трапеция с $$BC \perp AB$$ и $$BC \perp CD$$, то BC – высота. Если $$AC = BD$$, то трапеция равнобедренная, значит $$AB = CD$$.

   Возможно, речь идет о прямоугольнике: если $$\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^\circ$$, то ABCD – прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны ($$AC=BD$$) и противоположные стороны равны ($$AB=CD$$, $$AD=BC$$). Но нам нужно доказать $$AD=CD$$. Это возможно только если ABCD – квадрат.

   Проверим, когда $$AD=CD$$ в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с $$AC=BD$$ и $$BC \perp AB, BC \perp CD$$: В равнобедренной трапеции $$AB=CD$$. Если $$AD=CD$$, то $$AD=AB$$. Это означает, что углы при основании AD равны $$90^\text{о}$$. Это возможно только если ABCD – квадрат.

   Без дополнительных условий доказать $$AD=CD$$ невозможно, если только ABCD не является квадратом.

   4. Нахождение угла MKP:

   В остроугольном треугольнике NPT высоты, проведенные из вершин N и P, пересекаются в точке K. $$\angle T = 56^\circ$$. Найдите $$\angle NKP$$.

   Пусть $$NT_1$$ и $$PT_2$$ – высоты, $$T_1$$ на PT, $$T_2$$ на NT. $$K = NT_1 \cap PT_2$$. $$\angle T = 56^\circ$$.

   Рассмотрим четырехугольник $$KT_1TT_2$$. Сумма углов в четырехугольнике равна $$360^\circ$$.

   $$\angle KT_1T = 90^\circ$$ (так как $$NT_1$$ – высота).

   $$\angle KT_2T = 90^\circ$$ (так как $$PT_2$$ – высота).

   $$\angle T = 56^\circ$$ (по условию).

   Следовательно, $$\angle T_1KT_2 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 56^\circ = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$$.

   Угол $$\angle T_1KT_2$$ и $$\angle NKP$$ являются вертикальными углами, поэтому они равны.

   Ответ: $$\angle NKP = 124^\circ$$.