Билет №10.

Билет №10

1. Подобие треугольников. Определение. Свойство площадей подобных треугольников.

   Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

   Свойство площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

   Если \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} \), то \( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \).

2. Признаки параллельности двух прямых. Доказательство одного из них.

   Признаки параллельности двух прямых:

   • Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

   Доказательство первого признака:

   Пусть при пересечении прямых a и b прямой c внутренние накрест лежащие углы α и β равны. Докажем, что a || b. Предположим противное, что a не параллельна b. Тогда через точку пересечения прямой c с прямой a можно провести прямую d, параллельную b. Эта прямая d будет образовывать с прямой c внутренний накрест лежащий угол, равный β. Но так как α = β, то этот угол будет равен α. Следовательно, прямая d совпадает с прямой a (по признаку параллельности прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны). Значит, a || b.

3. Задача.