Билет 1. 1. Определение отрезка. Обозначение отрезка. Середина отрезка. Построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. 4. Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы.

Задание 3.

В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найти ∠BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°.

Решение:

1. Найдем ∠ACB треугольника ABC: $$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 46° - 78° = 56°$$
2. Так как CE - биссектриса ∠ACB, то: $$∠BCE = \frac{1}{2} ∠ACB = \frac{1}{2} \cdot 56° = 28°$$

Ответ: 28°

Задание 4.

Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла. Найти вертикальные углы.

Решение:

Пусть вертикальные углы равны x. Смежный с ними угол равен y.

1. Сумма вертикальных углов: $$x + x = 2x$$
2. По условию, сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного, значит: $$2x = 3y$$
3. Смежные углы в сумме составляют 180°: $$x + y = 180°$$
4. Выразим y из уравнения 2x = 3y: $$y = \frac{2}{3}x$$
5. Подставим это выражение в уравнение x + y = 180°: $$x + \frac{2}{3}x = 180°$$
6. Решим уравнение: $$\frac{5}{3}x = 180°$$ $$x = \frac{3}{5} \cdot 180° = 108°$$

Таким образом, вертикальные углы равны 108°.

Ответ: 108°