Билет №№3. 1. Линии в треугольнике (медиана, биссектриса, высота). 2. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны 3. Задача на тему «Окружность». Ha окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны. ,

Задача 1. Линии в треугольнике

• Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне.
• Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение.

Задача 2. Доказательство параллельности прямых

Условие: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

• Пусть прямые a и b пересечены секущей c, и накрест лежащие углы равны, то есть ∠1 = ∠2.
• Предположим, что прямые a и b не параллельны, значит, они пересекаются в некоторой точке.
• Через точку пересечения прямых a и c проведем прямую b', параллельную прямой a. Тогда ∠1 = ∠3 как соответственные углы при параллельных прямых a и b' и секущей c.
• Но по условию ∠1 = ∠2, следовательно, ∠2 = ∠3.
• Однако это возможно только в случае, если прямая b' совпадает с прямой b, что противоречит предположению о непараллельности прямых a и b.
• Следовательно, прямые a и b параллельны.

Задача 3. Задача на тему «Окружность»

Условие: На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB прямой. Отрезок BC — диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и AC равны.

Решение:

1. Рассмотрим окружность с центром O.

2. Т.к. угол AOB прямой (90°), то треугольник AOB — прямоугольный.
3. Отрезок BC — диаметр, значит, угол BAC — вписанный и опирается на диаметр, следовательно, угол BAC = 90°.
4. Рассмотрим треугольники AOB и AOC. AO — общая сторона. Угол AOB = 90° (по условию), угол AOC = 90° (т.к. BC - диаметр).
5. Так как BC диаметр, то OC = OB = R (радиус окружности).
6. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по двум сторонам и углу между ними (AO - общая, OB = OC, углы AOB и AOC прямые).
7. Из равенства треугольников следует, что AB = AC.