Билет №1. 1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника (периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника. 2. Признаки подобия треугольников. Доказать один признак на выбор обучающегося. 3. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°;

Пусть даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.

Требуется доказать, что ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.

1. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠C = 180° - ∠A - ∠B и ∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁. Учитывая, что ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, получаем, что ∠C = ∠C₁.
2. Наложим треугольник A₁B₁C₁ на треугольник ABC так, чтобы вершина A₁ совпала с вершиной A, а сторона A₁B₁ пошла по стороне AB. Так как ∠A = ∠A₁, то сторона A₁C₁ пойдет по стороне AC.
3. Возможны три случая:
   • B₁ лежит между A и B, а C₁ лежит между A и C.
   • B₁ совпадает с B, а C₁ совпадает с C.
   • B₁ лежит на продолжении AB за точку B, а C₁ лежит на продолжении AC за точку C.
4. Рассмотрим первый случай, когда B₁ лежит между A и B, а C₁ лежит между A и C. Так как ∠AB₁C₁ = ∠B, то прямые B₁C₁ и BC параллельны (по признаку параллельности прямых). Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках, AB₁/AB = AC₁/AC.
5. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них ∠A общий и AB₁/AB = AC₁/AC. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по второму признаку подобия треугольников.

Таким образом, доказано, что ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁.