Билет № 1 1) Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника. 2) Сформулируйте теоремы о средних линиях треугольника и трапеции. Докажите одну из них по выбору.

1) Многоугольник - это геометрическая фигура, состоящая из многих точек и отрезков, соединяющих их.

Вершина многоугольника - это точка пересечения сторон многоугольника.

Диагональ многоугольника - это линия, соединяющая две любые вершины многоугольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника:

$$S = 180°(n - 2)$$

где n - количество углов.

2) Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции, соединяющая середины ее боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

Доказательство теоремы о средней линии треугольника:

Дано: ΔABC, MN - средняя линия.

Доказать: MN || AC, MN = 1/2 AC

       B
      / \
     /   \
    M-----N
   /       \
  /         \
 A-----------C

Доказательство:

1. MN - средняя линия, значит AM = MB, BN = NC.
2. Проведем прямую через точку N параллельно AB. Пусть она пересекает AC в точке K.
3. Рассмотрим ΔBNK и ΔCNK. У них BN = NC (по условию), ∠BNK = ∠CNK (как соответственные углы при параллельных прямых AB и NK и секущей BC), NK - общая сторона.
4. Следовательно, ΔBNK = ΔCNK (по первому признаку равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует, что BK = KC.
6. Таким образом, AM = MB и BK = KC, значит MK - средняя линия ΔABC.
7. MK || AC и MK = 1/2 AC (по теореме о средней линии треугольника).
8. Так как MN || MK, то MN || AC.
9. Так как MN = MK и MK = 1/2 AC, то MN = 1/2 AC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: смотри выше