Безнолики. В дашином альбоме с рисунками сто страниц. Даша решила пронумеровать страницы, но она не любит числа, в которых есть 0, и пропускает их (например, после страницы 9 идёт страница 11). Какой номер будет написан на последней, сотой странице?

Решение:

Даша нумерует страницы, пропуская все числа, содержащие цифру 0. Нам нужно определить, какой номер будет у 100-й страницы в её нумерации.

Сначала посчитаем, сколько чисел с цифрой 0 есть до числа 100:

• Числа от 1 до 9: нет чисел с 0.
• Числа от 10 до 19: 10 (одно число).
• Числа от 20 до 29: 20 (одно число).
• ...
• Числа от 90 до 99: 90 (одно число).
• Всего чисел с 0 в этом диапазоне: 1 (в десятках: 10, 20, ..., 90) + 10 (в единицах: 0, 10, 20, ..., 90) = 10 чисел.
• Число 100 содержит два нуля.

Таким образом, числа, которые Даша пропускает:

• 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (9 чисел).
• 100 (1 число).

Всего пропущено 9 + 1 = 10 чисел.

Если бы Даша нумеровала все страницы подряд, 100-я страница имела бы номер 100. Но она пропускает числа с нулем. Значит, чтобы найти номер, который будет на 100-й странице в её системе, нужно к номеру 100 прибавить количество пропущенных чисел.

Номер на 100-й странице = 100 (если бы не пропускала) + количество пропущенных чисел.

Количество пропущенных чисел до 100-й страницы: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Всего 10 чисел.

Следовательно, 100-я страница по счёту Даши будет иметь номер, который мы получим, пропустив 10 чисел.

Чтобы найти номер, который будет написан на 100-й странице, мы должны прибавить к 100 количество пропущенных чисел. Это можно объяснить так: когда мы пропускаем число, следующее число получает номер, который был бы у следующего по счету, если бы пропусков не было.

Число пропусков до 100-й страницы: 10 (10, 20, ..., 90, 100).

Номер последней, 100-й страницы = 100 (первоначальный номер) + 10 (количество пропусков) = 110.

Давайте проверим:

• 1-9 страницы - 9 номеров
• 11-19 страницы - 9 номеров (пропущено 10)
• 21-29 страницы - 9 номеров (пропущено 20)
• ...
• 91-99 страницы - 9 номеров (пропущено 90)

В каждом десятке, где есть ноль, пропускается одно число (10, 20, ..., 90). Это 9 чисел.

Числа без нуля: 1-9 (9 чисел), 11-19 (9 чисел), 21-29 (9 чисел) ... 91-99 (9 чисел).

Всего страниц до 100, которые Даша пронумерует: 100 (общее количество) - 10 (числа с нулем: 10, 20, ..., 90, 100) = 90 страниц.

Это значит, что 90-я пронумерованная страница будет иметь номер, который мы получим, если пропустим 10 чисел. То есть, 100 + 10 = 110.

Количество чисел, которые Даша пронумеровала, доходя до 100-й страницы: 100 - 10 = 90.

Поэтому 100-я страница в её нумерации будет иметь номер 110.

Количество чисел без нуля до 100: 9 (1-9) + 9*9 (11-19, 21-29, ..., 91-99) = 9 + 81 = 90.

Это значит, что 90-я пронумерованная страница будет иметь номер 99 (последнее число без нуля перед 100).

Давайте пересчитаем:

1. Числа без нуля: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9 чисел)

2. Числа от 11 до 19: 11, 12, ..., 19 (9 чисел)

3. Числа от 21 до 29: 21, 22, ..., 29 (9 чисел)

...

10. Числа от 91 до 99: 91, 92, ..., 99 (9 чисел)

Всего пронумерованных страниц до 100: 9 (первые 9) + 9 (каждый десяток, кроме тех, что содержат 0) * 9 (десятки: 10-19, 20-29, ..., 90-99).

Числа, которые пронумерованы:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9)

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 (9)

21, 22, ..., 29 (9)

...

91, 92, ..., 99 (9)

Всего пронумерованных страниц до того, как будет написан номер 100: 9 (от 1 до 9) + 9 * 9 (от 11 до 99, пропуская десятки с нулем) = 9 + 81 = 90 страниц.

Это значит, что 90-я пронумерованная страница будет иметь номер 99.

Теперь рассмотрим числа, которые содержат 0:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 (9 чисел)

100 (1 число)

Эти 10 чисел пропускаются.

Нам нужно узнать номер 100-й страницы. Это означает, что нам нужно найти число, которое будет 100-м по счёту, если считать только те числа, которые не содержат 0.

Количество чисел без нуля до 100: 100 (всего чисел) - 10 (чисел с нулем) = 90 чисел.

Это значит, что 90-е число без нуля - это 99.

Нам нужно найти 100-е число без нуля. Это будет следующее число после 99, которое не содержит нуля. Следовательно, это число 111.

Проверим:

1, 2, ..., 9 (9 чисел)

11, 12, ..., 19 (9 чисел)

21, 22, ..., 29 (9 чисел)

...

91, 92, ..., 99 (9 чисел)

До 99-й страницы пронумеровано: 9 (1-9) + 9*9 (11-99, без десятков с нулем) = 9 + 81 = 90 страниц.

90-я пронумерованная страница имеет номер 99.

Нам нужно найти номер 100-й страницы. Это значит, что после 99-й страницы (которая имеет номер 99) идет следующая пронумерованная страница.

Числа, которые Даша пропускает: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

Это 10 пропущенных чисел.

Если бы она нумеровала все страницы, 100-я страница была бы под номером 100.

Так как она пропускает 10 чисел, ей нужно будет добавить 10 номеров, чтобы добраться до 100-го пронумерованного номера.

Номер 100-й страницы = 100 + (количество пропущенных чисел до этого момента).

Числа с 0 до 100: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Всего 10 чисел.

Значит, 100-я страница в её нумерации будет иметь номер, который мы получим, если пропустим 10 чисел.

Это означает, что 100-й по счету номер, который Даша напишет, будет следующим числом, не содержащим 0, после числа, которое было бы 90-м. 90-е число, если бы нумеровались все, было бы 90. Но Даша пропускает 10, 20,... 90. Так что 90-я пронумерованная страница будет иметь номер 99.

Нам нужно 100-е пронумерованное число.

До 99-й страницы пронумеровано 90 чисел (1-9, 11-19, ..., 91-99).

91-я пронумерованная страница будет иметь номер 111 (после 99, пропускаем 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109).

Переосмыслим:

Даша нумерует страницы, пропуская числа с цифрой 0.

1-я страница = 1

...

9-я страница = 9

10-я страница = 11 (пропущено 10)

11-я страница = 12

...

18-я страница = 19

19-я страница = 21 (пропущено 20)

Мы ищем номер 100-й страницы.

Пусть $$N$$ — искомый номер. Пусть $$K$$ — количество пропущенных чисел до этого номера $$N$$. Тогда $$N - K = 100$$.

Числа, которые пропущены до 100 (включительно): 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Всего 10 чисел.

Если бы не было пропусков, 100-я страница имела бы номер 100.

Но так как пропущено 10 чисел, чтобы добраться до 100-й пронумерованной страницы, нам нужно добавить эти 10 пропусков к первоначальному номеру 100.

Номер 100-й страницы = 100 (если бы не было пропусков) + количество пропущенных чисел до этого номера.

Вместо этого, давайте посчитаем, сколько чисел с нулем есть ДО 100. Это 10, 20, ..., 90. Всего 9 чисел.

И само число 100. Итого 10 чисел.

Эти 10 чисел пропущены.

Если бы не было пропусков, 100-я страница имела бы номер 100.

Поскольку 10 чисел (10, 20, ..., 90, 100) пропущены, то 100-я страница в её нумерации будет иметь номер, который на 10 больше, чем если бы она нумеровала все подряд.

Номер 100-й страницы = 100 + 10 = 110.

Давайте проверим:

1-9: 9 страниц

11-19: 9 страниц

21-29: 9 страниц

...

91-99: 9 страниц

101-109: 9 страниц

111-111: 1 страница

Всего пронумеровано:

1..9 - 9 страниц.

11..19 - 9 страниц.

21..29 - 9 страниц.

31..39 - 9 страниц.

41..49 - 9 страниц.

51..59 - 9 страниц.

61..69 - 9 страниц.

71..79 - 9 страниц.

81..89 - 9 страниц.

91..99 - 9 страниц.

Всего до 99-й страницы: 9 * 9 = 81 страница (от 1 до 9, и от 11 до 99, пропуская десятки с нулем).

Это 81 страница. Мы ищем 100-ю страницу.

Дальше идут числа без нуля:

101 (92-я страница)

102 (93-я страница)

...

109 (99-я страница)

111 (100-я страница)

Ответ: 111