Белялова Р.М. 49 Планиметрия шаг за шагом: сборник задач к ЕГЭ ЕГЭ 2026 2.1.13 Прототип №13. Задача №1 (ID: 109215). В треугольнике АВС известно, что АС = ВС = 7, tg A = 4/33 33 . Найдите высоту СН.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан равнобедренный треугольник ABC (так как AC = BC), и нужно найти высоту CH. Известны стороны AC = BC = 7 и тангенс угла A. 1. Выразим тангенс через синус и косинус: Тангенс угла A равен отношению синуса к косинусу этого угла: \[ tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{4\sqrt{33}}{33} \] 2. Найдем синус угла A: Нам известен тангенс угла A, и мы можем найти синус угла A. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ sin^2 A + cos^2 A = 1 \] Выразим \( cos A \) через \( sin A \) из тангенса: \[ cos A = \frac{sin A}{tg A} = \frac{sin A}{\frac{4\sqrt{33}}{33}} \] Подставим в основное тригонометрическое тождество: \[ sin^2 A + \left(\frac{33 sin A}{4\sqrt{33}}\right)^2 = 1 \] \[ sin^2 A + \frac{33^2 sin^2 A}{16 \cdot 33} = 1 \] \[ sin^2 A + \frac{33 sin^2 A}{16} = 1 \] \[ \frac{16 sin^2 A + 33 sin^2 A}{16} = 1 \] \[ 49 sin^2 A = 16 \] \[ sin^2 A = \frac{16}{49} \] \[ sin A = \frac{4}{7} \] 3. Найдем высоту CH: В прямоугольном треугольнике ACH, синус угла A равен отношению противолежащего катета (CH) к гипотенузе (AC): \[ sin A = \frac{CH}{AC} \] Выразим CH: \[ CH = AC \cdot sin A = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4 \]

Ответ: 4

Ты молодец! У тебя всё получится!