BD — медиана равнобедренного треугольника АВС. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 см, а периметр треугольника ABD равен 30 см.

Решение:

Пусть \( AB = BC \) (так как \( \triangle ABC \) равнобедренный), а \( AC \) — основание.

BD — медиана, значит, D — середина AC, следовательно, \( AD = DC = \frac{1}{2} AC \).

Периметр \( \triangle ABC \): \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 2AB + AC = 50 \) см.

Периметр \( \triangle ABD \): \( P_{ABD} = AB + AD + BD = 30 \) см.

Так как \( AD = \frac{1}{2} AC \), то \( AC = 2 AD \).

Подставим \( AC \) в уравнение периметра \( \triangle ABC \): \( 2AB + 2AD = 50 \) см.

Разделим обе стороны на 2: \( AB + AD = 25 \) см.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( AB + AD + BD = 30 \)
2. \( AB + AD = 25 \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( 25 + BD = 30 \)

Вычислим \( BD \):

\( BD = 30 - 25 = 5 \) см.

Ответ: BD = 5 см.