Баржа прошла по течению реки 92 км и, повернув обратно, прошла ещё 78 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Пусть x - собственная скорость баржи.

Тогда скорость по течению реки x + 5 км/ч, а против течения x - 5 км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $$t_1 = \frac{92}{x+5}$$

Время, затраченное на путь против течения: $$t_2 = \frac{78}{x-5}$$

Общее время в пути: $$t_1 + t_2 = 10$$

$$\frac{92}{x+5} + \frac{78}{x-5} = 10$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{92(x-5) + 78(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 10$$

$$92x - 460 + 78x + 390 = 10(x^2 - 25)$$ $$170x - 70 = 10x^2 - 250$$ $$10x^2 - 170x + 70 - 250 = 0$$ $$10x^2 - 170x - 180 = 0$$ $$x^2 - 17x - 18 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 289 + 72 = 361 = 19^2$$ $$x_1 = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ $$x_2 = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем x = 18.

Ответ: 18 км/ч