9. (3 балла) Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов. Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Пусть: A - множество студентов, решивших первую контрольную работу. B - множество студентов, решивших вторую контрольную работу. C - множество студентов, решивших третью контрольную работу. По условию: |A∪B| = 33 |A∪C| = 31 |B∪C| = 32 |A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - |A∩B∩C| = 20 (не менее двух работ выполнили 20 студентов) Нужно найти количество студентов, решивших только одну контрольную работу: |A| + |B| + |C| - 2 * (|A∩B| + |A∩C| + |B∩C|) + 3 * |A∩B∩C|. |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| => |A| + |B| = 33 + |A∩B| |A∪C| = |A| + |C| - |A∩C| => |A| + |C| = 31 + |A∩C| |B∪C| = |B| + |C| - |B∩C| => |B| + |C| = 32 + |B∩C| Сложим все три уравнения: 2 * (|A| + |B| + |C|) = 96 + |A∩B| + |A∩C| + |B∩C| |A| + |B| + |C| = 48 + (|A∩B| + |A∩C| + |B∩C|) / 2 Так как не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов, то: |A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - |A∩B∩C| = 20. Предположим, что все 20 студентов решили ровно две контрольные работы. Тогда |A∩B| + |A∩C| + |B∩C| = 20, и |A∩B∩C| = 0. В этом случае: |A| + |B| + |C| = 48 + 20 / 2 = 58 Теперь найдем количество студентов, решивших только одну контрольную работу: |A| + |B| + |C| - 2 * (|A∩B| + |A∩C| + |B∩C|) + 3 * |A∩B∩C| = 58 - 2 * 20 + 3 * 0 = 18 Ответ: 18 студентов решили только одну контрольную работу.