4. (1 балл) В треугольнике $$DEF$$ на сторонах $$DE$$ и $$EF$$ отмечены точки $$K$$ и $$L$$ соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры $$KH$$ и $$LP$$ к прямой $$DF$$, причём $$KH = LP$$, $$∠DKH = ∠PLF$$. Докажите, что $$DE = EF$$.

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники $$ΔDKH$$ и $$ΔPLF$$. У нас есть: * $$KH = LP$$ (по условию) * $$∠DKH = ∠PLF$$ (по условию) * $$∠DHK = ∠PLF = 90^\circ$$ (так как $$KH$$ и $$LP$$ - перпендикуляры к $$DF$$) 2. Следовательно, треугольники $$ΔDKH$$ и $$ΔPLF$$ равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). 3. Из равенства треугольников $$ΔDKH$$ и $$ΔPLF$$ следует, что $$DK = PF$$. 4. Теперь рассмотрим треугольники $$ΔEKH$$ и $$ΔEPL$$. Поскольку $$∠DHK = ∠PLF = 90^\circ$$, то $$∠EKH = 180^\circ - ∠DHK = 90^\circ$$ и $$∠EPL = 180^\circ - ∠PLF = 90^\circ$$. 5. Рассмотрим $$ΔKDE$$ и $$ΔPLE$$. У нас $$KH=PL$$ (по условию). $$\angle EKH = \angle EPL = 90^\circ$$. Поскольку углы $$∠DKH = ∠PLF$$, следовательно $$\angle D = \angle P$$. 6. Докажем, что $$\angle DKH = \angle LPF$$. Тогда, можно доказать равенство треугольников $$ΔDKH$$ и $$ΔPLF$$. Действительно, $$DK = LF$$, как соответственные стороны в равных треугольниках. Т.е. точки $$K$$ и $$L$$ отмечены так, что $$DK=LF$$. 7. Т.к. $$DE = DK + KE$$ и $$EF=LF + EL$$ и мы знаем что $$DK=LF$$ чтобы доказать $$DE=EF$$, нам нужно доказать $$KE=EL$$. Треугольники $$ΔEKH$$ и $$ΔEPL$$ равны, т.к $$KH=PL$$ и $$∠EKH = ∠EPL = 90^\circ$$ и $$\angle K = \angle L$$. Следовательно, $$EK=EL$$. 8. Поскольку $$DK = LF$$ и $$EK=EL$$, то $$DE = DK + KE = LF + EL = EF$$. Таким образом, $$DE = EF$$, что и требовалось доказать.