(1 балл) Угол А треугольника АВС в два раза больше угла В. Биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВК = 6 и КС = 3. Найдите стороны треугольника АВС.

Решение:

1. Обозначения и известные данные:

   • Пусть \(\angle B = x\), тогда \(\angle A = 2x\).
   • \(BK = 6\), \(KC = 3\). Значит, \(BC = BK + KC = 6 + 3 = 9\).

2. Применим теорему биссектрисы:

   Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, \(\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC}\).

   Отсюда получаем: \(\frac{AB}{AC} = \frac{6}{3} = 2\), следовательно, \(AB = 2 \cdot AC\).

3. Используем теорему синусов:

   Для треугольника \(ABC\) имеем:

   \[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]

   Подставим известные значения:

   \[\frac{9}{\sin 2x} = \frac{AC}{\sin x}\]

   Также знаем, что \(AB = 2 \cdot AC\), следовательно:

   \[\frac{2AC}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}\]

   \[\frac{2}{\sin C} = \frac{1}{\sin x}\]

   \[\sin C = 2 \sin x\]

4. Найдем угол \(C\):

   Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Значит,

   \[\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\]

   \[2x + x + \angle C = 180^\circ\]

   \[3x + \angle C = 180^\circ\]

   \[\angle C = 180^\circ - 3x\]

5. Используем уравнение для синуса угла \(C\):

   \[\sin (180^\circ - 3x) = 2 \sin x\]

   Так как \(\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\), то:

   \[\sin 3x = 2 \sin x\]

6. Применим формулу синуса тройного угла:

   \[3 \sin x - 4 \sin^3 x = 2 \sin x\]

   \[\sin x - 4 \sin^3 x = 0\]

   \[\sin x (1 - 4 \sin^2 x) = 0\]

   Т.к. \(\sin x
   eq 0\) (иначе \(x = 0\) и треугольник не существует), то:

   \[1 - 4 \sin^2 x = 0\]

   \[\sin^2 x = \frac{1}{4}\]

   \[\sin x = \frac{1}{2}\]

   Таким образом, \(x = 30^\circ\).

7. Вычисляем углы треугольника:

   • \(\angle A = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\)
   • \(\angle B = x = 30^\circ\)
   • \(\angle C = 180^\circ - 3x = 180^\circ - 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\)

   Итак, треугольник \(ABC\) – прямоугольный с \(\angle C = 90^\circ\).

8. Найдем стороны \(AC\) и \(AB\):

   Применим теорему синусов еще раз:

   \[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\]

   \[AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{9 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\]

   \[AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]