1 балл) Сократите дробь: 1. x+2/4x²+9x+2 2. 21x²+x-2/2+5x-3x²

Привет! Давай помогу тебе сократить эти дроби. Это задание по алгебре, и мы будем использовать разложение на множители, чтобы упростить выражения.

Задание 1

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители:

\[4x^2 + 9x + 2\]

Ищем корни квадратного уравнения \(4x^2 + 9x + 2 = 0\). Дискриминант:

\[D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49\] \[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\] \[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 7}{8} = \frac{-16}{8} = -2\]

Значит, знаменатель можно разложить как:

\[4x^2 + 9x + 2 = 4(x + \frac{1}{4})(x + 2) = (4x + 1)(x + 2)\]

Теперь сократим дробь:

\[\frac{x + 2}{4x^2 + 9x + 2} = \frac{x + 2}{(4x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{4x + 1}\]

Задание 2

Разложим числитель и знаменатель второй дроби на множители:

Числитель: \(21x^2 + x - 2\)

Ищем корни квадратного уравнения \(21x^2 + x - 2 = 0\). Дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-2) = 1 + 168 = 169\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{-1 + 13}{42} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 21} = \frac{-1 - 13}{42} = \frac{-14}{42} = -\frac{1}{3}\]

Значит, числитель можно разложить как:

\[21x^2 + x - 2 = 21(x - \frac{2}{7})(x + \frac{1}{3}) = (7x - 2)(3x + 1)\]

Знаменатель: \(2 + 5x - 3x^2\)

Ищем корни квадратного уравнения \(-3x^2 + 5x + 2 = 0\). Дискриминант:

\[D = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-5 + 7}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-5 - 7}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2\]

Значит, знаменатель можно разложить как:

\[2 + 5x - 3x^2 = -3(x + \frac{1}{3})(x - 2) = -(3x + 1)(x - 2) = (3x + 1)(2 - x)\]

Теперь сократим дробь:

\[\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2} = \frac{(7x - 2)(3x + 1)}{(3x + 1)(2 - x)} = \frac{7x - 2}{2 - x}\]

Отлично! Ты хорошо поработал(а) над этими дробями. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!