B6. Дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = AD, BC = CD. На его диагонали AC взяли произвольную точку K. Докажите, что: a) BK = DK; б) ∠BKC = ∠DKC.

Решение:

а) Доказательство равенства BK = DK:

1. Рассмотрим треугольники ABC и ADC.
2. У них AB = AD (по условию), BC = CD (по условию), AC — общая сторона.
3. По трём сторонам (ССС), треугольники ABC и ADC равны.
4. Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.
5. Теперь рассмотрим треугольники ABK и ADK.
6. У них AB = AD (по условию), ∠BAK = ∠DAK (так как ∠BAC = ∠DAC), AK — общая сторона.
7. По двум сторонам и углу между ними (СУС), треугольники ABK и ADK равны.
8. Из равенства треугольников следует, что BK = DK.

б) Доказательство равенства ∠BKC = ∠DKC:

1. Рассмотрим треугольники BKC и DKC.
2. У них BK = DK (доказано в пункте а), BC = DC (по условию), KC — общая сторона.
3. По трём сторонам (ССС), треугольники BKC и DKC равны.
4. Из равенства треугольников следует, что ∠BKC = ∠DKC.

Что и требовалось доказать.