B2. Найдите значение x, при которых производная функции y = (x-2) / x³ равна 0.

Решение:

Чтобы найти значения \( x \), при которых производная функции \( y = \frac{x-2}{x^3} \) равна 0, сначала найдём производную этой функции.

1. Воспользуемся правилом производной частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
2. Пусть \( u = x-2 \) и \( v = x^3 \).
3. Найдём производные \( u' \) и \( v' \):
• \( u' = (x-2)' = 1 \)
• \( v' = (x^3)' = 3x^2 \)
4. Подставим в формулу производной частного:
\[ y' = \frac{1 \cdot x^3 - (x-2) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} \] \[ y' = \frac{x^3 - 3x^3 + 6x^2}{x^6} \] \[ y' = \frac{-2x^3 + 6x^2}{x^6} \]
5. Чтобы производная была равна 0, числитель должен быть равен 0, а знаменатель не равен 0.
6. Приравняем числитель к нулю: \( -2x^3 + 6x^2 = 0 \).
7. Вынесем общий множитель \( 2x^2 \): \( 2x^2(-x + 3) = 0 \).
8. Это уравнение имеет два решения:
• \( 2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( -x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
9. Проверим условие, что знаменатель \( x^6 \) не равен 0.
• При \( x = 0 \), знаменатель равен \( 0^6 = 0 \). Следовательно, \( x = 0 \) не является решением, так как функция и её производная не определены в этой точке.
• При \( x = 3 \), знаменатель равен \( 3^6 \neq 0 \). Следовательно, \( x = 3 \) является решением.

Ответ: 3