B-2 1. Вычислите (√3 + 5i)(5 - √3i). (3 + 5i)+(5 - 3i). 2. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрическо форме: 2√3 - 3i; 12i-5. 3. Решите уравнение х² + 5x + 9 =0 4. Вычислите (2 + i√12)². 5. Решите уравнение z² - (4 +3i)z + 5i = 0.

1. Вычислите (√3 + 5i)(5 - √3i) и (3 + 5i)+(5 - 3i).

Первое выражение:

\[(\sqrt{3} + 5i)(5 - \sqrt{3}i) = 5\sqrt{3} - 3i + 25i - 5\sqrt{3}i^2 = 5\sqrt{3} + 22i + 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} + 22i\]

Второе выражение:

\[(3 + 5i) + (5 - 3i) = 3 + 5 + 5i - 3i = 8 + 2i\]

2. Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме: 2√3 - 3i и 12i-5.

Первое число: 2√3 - 3i

Для начала найдем модуль числа:

\[r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}\]

Теперь найдем аргумент:

\[\tan(\varphi) = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Аргумент \(\varphi\) находится в четвертой четверти, так как действительная часть положительна, а мнимая отрицательна. Тогда:

\[\varphi = \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi\]

Тригонометрическая форма:

\[z = \sqrt{21}\left(\cos\left(\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi\right) + i\sin\left(\arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi\right)\right)\]

Второе число: 12i - 5 = -5 + 12i

Модуль числа:

\[r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Аргумент числа:

\[\tan(\varphi) = \frac{12}{-5} = -\frac{12}{5}\]

Аргумент \(\varphi\) находится во второй четверти, так как действительная часть отрицательна, а мнимая положительна. Тогда:

\[\varphi = \arctan\left(-\frac{12}{5}\right) + \pi\]

Тригонометрическая форма:

\[z = 13\left(\cos\left(\arctan\left(-\frac{12}{5}\right) + \pi\right) + i\sin\left(\arctan\left(-\frac{12}{5}\right) + \pi\right)\right)\]

3. Решите уравнение x² + 5x + 9 = 0

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 25 - 36 = -11\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{2}\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-5 + i\sqrt{11}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 - i\sqrt{11}}{2}\]

4. Вычислите (2 + i√12)²

\[ (2 + i\sqrt{12})^2 = (2 + i2\sqrt{3})^2 = 4 + 4i2\sqrt{3} + (i2\sqrt{3})^2 = 4 + 8i\sqrt{3} - 12 = -8 + 8i\sqrt{3} \]

5. Решите уравнение z² - (4 +3i)z + 5i = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = (4 + 3i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5i = 16 + 24i - 9 - 20i = 7 + 4i\]

Теперь найдем квадратный корень из дискриминанта. Пусть \(\sqrt{7 + 4i} = a + bi\). Тогда:

\[(a + bi)^2 = 7 + 4i\] \[a^2 - b^2 + 2abi = 7 + 4i\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} a^2 - b^2 = 7 \\ 2ab = 4 \end{cases}\]

Из второго уравнения выразим b:

\[b = \frac{2}{a}\]

Подставим в первое уравнение:

\[a^2 - \frac{4}{a^2} = 7\] \[a^4 - 7a^2 - 4 = 0\]

Решим это биквадратное уравнение. Пусть \(t = a^2\), тогда:

\[t^2 - 7t - 4 = 0\] \[D_t = 49 + 16 = 65\] \[t_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{65}}{2}\]

Так как \(a^2\) должно быть положительным, выбираем положительное значение:

\[a^2 = \frac{7 + \sqrt{65}}{2}\] \[a = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{65}}{2}}\]

Найдем b:

\[b = \frac{2}{a} = \pm 2\sqrt{\frac{2}{7 + \sqrt{65}}} = \pm \sqrt{\frac{8}{7 + \sqrt{65}}} = \pm \sqrt{\frac{8(7 - \sqrt{65})}{49 - 65}} = \pm \sqrt{\frac{8(7 - \sqrt{65})}{-16}} = \mp \sqrt{\frac{-7 + \sqrt{65}}{2}}\]

Тогда:

\[\sqrt{7 + 4i} = \pm \left(\sqrt{\frac{7 + \sqrt{65}}{2}} - i\sqrt{\frac{-7 + \sqrt{65}}{2}}\right)\]

Найдем корни исходного уравнения:

\[z_{1,2} = \frac{(4 + 3i) \pm \sqrt{7 + 4i}}{2} = \frac{(4 + 3i) \pm \left(\sqrt{\frac{7 + \sqrt{65}}{2}} - i\sqrt{\frac{-7 + \sqrt{65}}{2}}\right)}{2}\]

Корни уравнения:

\[z_1 = 2 + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{7 + \sqrt{65}}{2}} + i\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-7 + \sqrt{65}}{2}}\right)\] \[z_2 = 2 - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{7 + \sqrt{65}}{2}} + i\left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-7 + \sqrt{65}}{2}}\right)\]