б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π; -7π/2].

Привет! Продолжаем разбираться с нашим уравнением. Теперь нужно найти корни, которые попадают в заданный отрезок.

Шаг 1: Анализируем первый тип корней

Первый тип корней: x = n\(\pi\), где n - целое число.

Нам нужно найти такие значения n, чтобы -5\(\pi\) ≤ n\(\pi\) ≤ -\(\frac{7\pi}{2}\).

Разделим все части неравенства на \(\pi\): -5 ≤ n ≤ -\(\frac{7}{2}\).

Поскольку n должно быть целым числом, а -\(\frac{7}{2}\) = -3.5, то единственное целое число n, удовлетворяющее этому условию, это n = -4 и n = -5.

Подставляем эти значения n в формулу корня:

• Если n = -5, то x = -5\(\pi\).
• Если n = -4, то x = -4\(\pi\).

Шаг 2: Анализируем второй тип корней

Второй тип корней: x = \(\frac{3\pi}{4}\) + 2k\(\pi\) (или x = -\(\frac{5\pi}{4}\) + 2k\(\pi\), что эквивалентно, при k-1).

Нам нужно найти такие значения k, чтобы -5\(\pi\) ≤ \(\frac{3\pi}{4}\) + 2k\(\pi\) ≤ -\(\frac{7\pi}{2}\).

Разделим все части на \(\pi\): -5 ≤ \(\frac{3}{4}\) + 2k ≤ -\(\frac{7}{2}\).

Вычтем \(\frac{3}{4}\) из всех частей:

-5 - \(\frac{3}{4}\) ≤ 2k ≤ -\(\frac{7}{2}\) - \(\frac{3}{4}\)

-\(\frac{20}{4}\) - \(\frac{3}{4}\) ≤ 2k ≤ -\(\frac{14}{4}\) - \(\frac{3}{4}\)

-\(\frac{23}{4}\) ≤ 2k ≤ -\(\frac{17}{4}\)

Разделим все части на 2:

-\(\frac{23}{8}\) ≤ k ≤ -\(\frac{17}{8}\)

Это значит -2.875 ≤ k ≤ -2.125.

Единственное целое число k, удовлетворяющее этому условию, это k = -2.

Подставляем k = -2 в формулу корня:

x = \(\frac{3\pi}{4}\) + 2(-2)\(\pi\) = \(\frac{3\pi}{4}\) - 4\(\pi\) = \(\frac{3\pi - 16\pi}{4}\) = -\(\frac{13\pi}{4}\).

Шаг 3: Анализируем третий тип корней

Третий тип корней: x = -\(\frac{3\pi}{4}\) + 2k\(\pi\).

Нам нужно найти такие значения k, чтобы -5\(\pi\) ≤ -\(\frac{3\pi}{4}\) + 2k\(\pi\) ≤ -\(\frac{7\pi}{2}\).

Разделим все части на \(\pi\): -5 ≤ -\(\frac{3}{4}\) + 2k ≤ -\(\frac{7}{2}\).

Прибавим \(\frac{3}{4}\) ко всем частям:

-5 + \(\frac{3}{4}\) ≤ 2k ≤ -\(\frac{7}{2}\) + \(\frac{3}{4}\)

-\(\frac{20}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) ≤ 2k ≤ -\(\frac{14}{4}\) + \(\frac{3}{4}\)

-\(\frac{17}{4}\) ≤ 2k ≤ -\(\frac{11}{4}\)

Разделим все части на 2:

-\(\frac{17}{8}\) ≤ k ≤ -\(\frac{11}{8}\).

Это значит -2.125 ≤ k ≤ -1.375.

Единственное целое число k, удовлетворяющее этому условию, это k = -2.

Подставляем k = -2 в формулу корня:

x = -\(\frac{3\pi}{4}\) + 2(-2)\(\pi\) = -\(\frac{3\pi}{4}\) - 4\(\pi\) = \(\frac{-3\pi - 16\pi}{4}\) = -\(\frac{19\pi}{4}\).

Шаг 4: Собираем все корни, принадлежащие отрезку

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку [-5\(\pi\); -\(\frac{7\pi}{2}\)], это:

• -5\(\pi\)
• -4\(\pi\)
• -\(\frac{13\pi}{4}\)
• -\(\frac{19\pi}{4}\)

Ответ: -5\(\pi\); -4\(\pi\); -\(\frac{13\pi}{4}\); -\(\frac{19\pi}{4}\).