б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; 5π/2].

Решение:

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Нам нужно найти такие \( k \), чтобы \( -4\pi \le \pi k \le \frac{5\pi}{2} \).

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( -4 \le k \le \frac{5}{2} \)

Так как \( k \) — целое число, возможные значения \( k \): \( -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 \).

Соответствующие корни:

\( x = -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi \).

Теперь рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Нам нужно найти такие \( n \), чтобы \( -4\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5\pi}{2} \).

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( -4 \le \frac{1}{4} + 2n \le \frac{5}{2} \)

Вычтем \( \frac{1}{4} \) из всех частей:

\( -4 - \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{5}{2} - \frac{1}{4} \)

\( -\frac{17}{4} \le 2n \le \frac{9}{4} \)

Разделим все части на 2:

\( -\frac{17}{8} \le n \le \frac{9}{8} \)

\( -2.125 \le n \le 1.125 \)

Так как \( n \) — целое число, возможные значения \( n \): \( -2, -1, 0, 1 \).

Соответствующие корни:

При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(-2) = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4} \).

При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \).

При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(0) = \frac{\pi}{4} \).

При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi(1) = \frac{9\pi}{4} \).

Теперь рассмотрим третью серию корней: \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Нам нужно найти такие \( n \), чтобы \( -4\pi \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5\pi}{2} \).

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( -4 \le -\frac{1}{4} + 2n \le \frac{5}{2} \)

Прибавим \( \frac{1}{4} \) ко всем частям:

\( -4 + \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \)

\( -\frac{15}{4} \le 2n \le \frac{11}{4} \)

Разделим все части на 2:

\( -\frac{15}{8} \le n \le \frac{11}{8} \)

\( -1.875 \le n \le 1.375 \)

Так как \( n \) — целое число, возможные значения \( n \): \( -1, 0, 1 \).

Соответствующие корни:

При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = -\frac{9\pi}{4} \).

При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(0) = -\frac{\pi}{4} \).

При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(1) = \frac{7\pi}{4} \).

Соберем все корни, принадлежащие отрезку \( [-4\pi; \frac{5\pi}{2}] \):

\( -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi \) (из \( \sin x = 0 \))

\( -\frac{15\pi}{4}, -\frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} \) (из \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) с плюсом)

\( -\frac{9\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \) (из \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) с минусом)

Ответ: \( -4\pi, -3\pi, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, -\frac{15\pi}{4}, -\frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \).