б) $$\triangle ABC$$ — тупоугольный

Решение:

б) $$\triangle ABC$$ — тупоугольный

Дано: $$\triangle ABC$$, $$BH$$ и $$CP$$ — высоты, $$BH = CP$$.
Доказать: $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $$BHP$$ и $$CPA$$. Они прямоугольные, так как $$BH \perp AC$$ и $$CP \perp AB$$.
2. По условию $$BH = CP$$.
3. В треугольнике $$ABC$$ углы $$\angle ABC$$ и $$\angle ACB$$ являются острыми, так как $$BH$$ и $$CP$$ — высоты (в тупоугольном треугольнике высоты, проведенные из вершин острых углов, падают на продолжение сторон).
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BHC$$ и $$CPB$$. У них гипотенуза $$BC$$ общая, и катеты $$BH = CP$$.
5. Следовательно, $$\triangle BHC = \triangle CPB$$ по гипотенузе и катету.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $$\angle HBC = \angle PCB$$.
7. Так как $$\angle ABC = \angle ABH + \angle HBC$$ и $$\angle ACB = \angle ACP + \angle PCB$$, и $$\angle ABH = \angle ACP = 90^{\circ}$$ (это неверно, т.к. углы H и P — прямые, а не A), то мы должны рассмотреть треугольники $$ABH$$ и $$ACP$$ или $$CBH$$ и $$BCP$$.
8. В пункте 4 доказано, что $$\triangle BHC = \triangle CPB$$.
9. Из равенства треугольников следует, что $$\angle HBC = \angle PCB$$.
10. Углы $$\angle ABC$$ и $$\angle ACB$$ в $$\triangle ABC$$ соответственно равны $$\angle ABH + \angle HBC$$ и $$\angle ACP + \angle PCB$$.
11. Если угол $$A$$ тупой, то $$H$$ лежит на $$AC$$ (или $$B$$ на $$AC$$), а $$P$$ лежит на $$AB$$ (или $$C$$ на $$AB$$).
12. В тупоугольном треугольнике высоты, опущенные из вершин острых углов, могут падать на продолжение сторон.
13. Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$ACP$$. Они прямоугольные ($$\angle AHB = \angle APC = 90^{\circ}$$). У них есть общий угол $$A$$. Если $$\angle A$$ не прямой, то $$\triangle ABH \sim \triangle ACP$$.
14. Из подобия следует $$\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{CP}$$. Так как $$BH=CP$$, то $$AB=AC$$.
15. Таким образом, $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.

Ответ: $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.