(b) Составьте из цифр 0, 1, 3, 4, 5 все трёхзначные числа, которые делятся и на 3 и на 5.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Что от нас хотят?

Нужно составить трёхзначные числа из цифр 0, 1, 3, 4, 5. Важное условие: эти числа должны делиться одновременно на 3 и на 5.

Какие правила помогут нам?

1. Признак делимости на 5: Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.
2. Признак делимости на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
3. Трёхзначное число: Число должно состоять из трёх цифр, и первая цифра не может быть нулем.

Шаг 1: Определим возможные последние цифры.

Чтобы число делилось на 5, оно должно заканчиваться на 0 или 5. Итак, у нас есть два варианта:

• Число заканчивается на 0.
• Число заканчивается на 5.

Шаг 2: Составим числа, заканчивающиеся на 0.

Наши цифры: 0, 1, 3, 4, 5. Последняя цифра — 0.

• Первая цифра: Может быть любой из оставшихся (1, 3, 4, 5), кроме 0.
• Вторая цифра: Может быть любой из оставшихся, включая 0.

Давай переберём возможные комбинации и проверим делимость на 3:

1. Числа вида _ _ 0:
• 1 _ 0: Сумма цифр = 1 + _ + 0. Чтобы делилось на 3, _ может быть 2 (сумма 3), 5 (сумма 6). Но цифры 2 у нас нет. Можем использовать цифры 1, 3, 4, 5. 1+1+0=2 (нет), 1+3+0=4 (нет), 1+4+0=5 (нет), 1+5+0=6 (да). Число 150.
• 3 _ 0: Сумма цифр = 3 + _ + 0. Чтобы делилось на 3, _ может быть 0 (сумма 3), 3 (сумма 6), 6 (сумма 9). Цифры 3 и 0 у нас есть. Числа 300 и 330. (По условию цифры не должны повторяться, поэтому 330 не подходит) => 300.
• 4 _ 0: Сумма цифр = 4 + _ + 0. Чтобы делилось на 3, _ может быть 2 (сумма 6), 5 (сумма 9). Цифра 5 у нас есть. Число 450.
• 5 _ 0: Сумма цифр = 5 + _ + 0. Чтобы делилось на 3, _ может быть 1 (сумма 6), 4 (сумма 9). Цифры 1 и 4 у нас есть. Числа 510 и 540.

Итак, числа, заканчивающиеся на 0, которые делятся на 3 и 5: 150, 300, 450, 510, 540.

Шаг 3: Составим числа, заканчивающиеся на 5.

Наши цифры: 0, 1, 3, 4, 5. Последняя цифра — 5.

• Первая цифра: Может быть любой из оставшихся (0, 1, 3, 4), кроме 0. Значит, 1, 3, 4.
• Вторая цифра: Может быть любой из оставшихся, включая 0.

Давай переберём возможные комбинации и проверим делимость на 3:

1. Числа вида _ _ 5:
• 1 _ 5: Сумма цифр = 1 + _ + 5 = 6 + _. Чтобы делилось на 3, _ может быть 0 (сумма 6), 3 (сумма 9), 6 (сумма 12). Цифры 0 и 3 у нас есть. Числа 105 и 135.
• 3 _ 5: Сумма цифр = 3 + _ + 5 = 8 + _. Чтобы делилось на 3, _ может быть 1 (сумма 9), 4 (сумма 12), 7 (сумма 15). Цифры 1 и 4 у нас есть. Числа 315 и 345.
• 4 _ 5: Сумма цифр = 4 + _ + 5 = 9 + _. Чтобы делилось на 3, _ может быть 0 (сумма 9), 3 (сумма 12), 6 (сумма 15). Цифры 0 и 3 у нас есть. Числа 405 и 435.

Итак, числа, заканчивающиеся на 5, которые делятся на 3 и 5: 105, 135, 315, 345, 405, 435.

Шаг 4: Объединяем все найденные числа.

Числа, которые делятся и на 3, и на 5, составленные из цифр 0, 1, 3, 4, 5:

105, 135, 150, 300, 315, 345, 405, 435, 450, 510, 540.

Ответ: 105, 135, 150, 300, 315, 345, 405, 435, 450, 510, 540.