Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықты құтылыңыз. \( \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}+3} \)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \( \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}+3} \), необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( 2\sqrt{13}-3 \).

1. Умножаем числитель:

\[ \sqrt{13} \cdot (2\sqrt{13}-3) = \sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 3 = 2 \cdot 13 - 3\sqrt{13} = 26 - 3\sqrt{13} \]

1. Умножаем знаменатель (используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)):

\[ (2\sqrt{13}+3)(2\sqrt{13}-3) = (2\sqrt{13})^2 - 3^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{13})^2 - 9 = 4 \cdot 13 - 9 = 52 - 9 = 43 \]

1. Записываем полученную дробь:

\[ \frac{26 - 3\sqrt{13}}{43} \]