Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз. \(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{2}}{\sqrt{19}+\sqrt{2}}\)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю.

Сопряженное выражение к \( \sqrt{19}+\sqrt{2} \) равно \( \sqrt{19}-\sqrt{2} \).

\( \frac{\sqrt{19}-\sqrt{2}}{\sqrt{19}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{19}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{19}-\sqrt{2})}{(\sqrt{19}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{19}-\sqrt{2})} \)

Используем формулы квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) в числителе и разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) в знаменателе:

Числитель: \( (\sqrt{19}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{19})^2 - 2 \cdot \sqrt{19} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 19 - 2\sqrt{38} + 2 = 21 - 2\sqrt{38} \)

Знаменатель: \( (\sqrt{19}+\sqrt{2})(\sqrt{19}-\sqrt{2}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{2})^2 = 19 - 2 = 17 \)

Таким образом, дробь равна:

\( \frac{21 - 2\sqrt{38}}{17} \)

Ответ: \( \frac{21 - 2\sqrt{38}}{17} \).