Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: \( \frac{54}{2\sqrt{7}-1} \)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

1. Знаменатель: \( 2\sqrt{7}-1 \). Сопряженное выражение: \( 2\sqrt{7}+1 \).
2. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: \[ \frac{54}{2\sqrt{7}-1} \cdot \frac{2\sqrt{7}+1}{2\sqrt{7}+1} = \frac{54(2\sqrt{7}+1)}{(2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1)} \]
3. Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) для знаменателя: \[ (2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1) = (2\sqrt{7})^2 - 1^2 = 4 \cdot 7 - 1 = 28 - 1 = 27 \]
4. Упростим дробь: \[ \frac{54(2\sqrt{7}+1)}{27} \]
5. Сократим 54 и 27: \( 54 \div 27 = 2 \).
6. Окончательный результат: \[ 2(2\sqrt{7}+1) = 4\sqrt{7}+2 \]

Ответ: \( 4\sqrt{7}+2 \).