Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз. 54 / (2*sqrt(7)-1)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( 2\sqrt{7}+1 \).

$$ \frac{54}{2\sqrt{7}-1} = \frac{54 \cdot (2\sqrt{7}+1)}{(2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1)} $$

В знаменателе получим разность квадратов:

$$ (2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1) = (2\sqrt{7})^2 - 1^2 = 4 \cdot 7 - 1 = 28 - 1 = 27 $$

Теперь подставим это значение обратно в дробь:

$$ \frac{54 \cdot (2\sqrt{7}+1)}{27} $$

Сократим 54 и 27:

$$ 2 \cdot (2\sqrt{7}+1) = 4\sqrt{7}+2 $$

Таким образом, избавившись от иррациональности в знаменателе, получили:

$$ 4\sqrt{7}+2 $$

Таким образом:

1. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 2\sqrt{7}+1 \).
2. Знаменатель \( (2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1) = (2\sqrt{7})^2 - 1^2 = 28 - 1 = 27 \).
3. Числитель \( 54(2\sqrt{7}+1) \).
4. Дробь \( \frac{54(2\sqrt{7}+1)}{27} = 2(2\sqrt{7}+1) = 4\sqrt{7}+2 \).

Ответ: \( 4\sqrt{7}+2 \).