Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз. 22 / (2√3-1)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \( \frac{22}{2\sqrt{3}-1} \), необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное выражение к \( 2\sqrt{3}-1 \) есть \( 2\sqrt{3}+1 \).

1. Умножаем числитель и знаменатель на \( 2\sqrt{3}+1 \): \[ \frac{22}{2\sqrt{3}-1} \times \frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}+1} \]
2. Числитель: \( 22(2\sqrt{3}+1) = 44\sqrt{3} + 22 \).
3. Знаменатель: Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Здесь \( a = 2\sqrt{3} \) и \( b = 1 \). \[ (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = (4 \times 3) - 1 = 12 - 1 = 11 \]
4. Подставляем полученные числитель и знаменатель обратно в дробь: \[ \frac{44\sqrt{3} + 22}{11} \]
5. Упрощаем дробь, разделив каждый член числителя на 11: \[ \frac{44\sqrt{3}}{11} + \frac{22}{11} = 4\sqrt{3} + 2 \]

Ответ: \( 2 + 4\sqrt{3} \).