б) \( \left( \frac{a^{-2}b^3}{2} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{b^5}{4a^2} \right)^3 \)

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Возведём первую дробь в степень \( -4 \). При возведении дроби в отрицательную степень, дробь переворачивается, а показатель степени становится положительным:

\[ \left( \frac{a^{-2}b^3}{2} \right)^{-4} = \left( \frac{2}{a^{-2}b^3} \right)^4 = \frac{2^4}{(a^{-2})^4 (b^3)^4} = \frac{16}{a^{-8}b^{12}} \]

Теперь перенесём \( a^{-8} \) в числитель, изменив знак показателя степени:

\[ \frac{16a^8}{b^{12}} \]

1. Возведём вторую дробь в степень \( 3 \):

\[ \left( \frac{b^5}{4a^2} \right)^3 = \frac{(b^5)^3}{(4a^2)^3} = \frac{b^{15}}{4^3 (a^2)^3} = \frac{b^{15}}{64a^6} \]

1. Теперь перемножим полученные выражения:

\[ \frac{16a^8}{b^{12}} \cdot \frac{b^{15}}{64a^6} = \frac{16 \cdot a^8 \cdot b^{15}}{b^{12} \cdot 64 \cdot a^6} \]

1. Сократим числовые коэффициенты и упростим степени:

\[ \frac{16}{64} = \frac{1}{4} \]

\[ \frac{a^8}{a^6} = a^{8-6} = a^2 \]

\[ \frac{b^{15}}{b^{12}} = b^{15-12} = b^3 \]

1. Объединим полученные результаты:

\[ \frac{1}{4} a^2 b^3 = \frac{a^2b^3}{4} \]

Ответ: \( \frac{a^2b^3}{4} \).