б) Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. $$AB=8$$, $$AD=6$$, $$AA_1=\frac{10}{\sqrt{3}}$$. Найдите угол между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$ABC$$. в) Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, $$AB=3$$, $$AD=4$$, $$AA_1=5$$. Найдите угол между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$ABC$$

б) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Дано: $$AB=8$$, $$AD=6$$, $$AA_1=\frac{10}{\sqrt{3}}$$.

Найти: угол между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$ABC$$.

Решение:

$$\angle (AC_1,(ABC))=\angle C_1AC$$

$$\tan \angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC}$$

Рассмотрим прямоугольный $$\triangle ABC$$

$$AC^2=AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100$$

$$AC=\sqrt{100}=10$$

$$\tan \angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC}=\frac{\frac{10}{\sqrt{3}}}{10}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\angle C_1AC = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}})=30^\circ$$

Ответ: $$30^\circ$$

в) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$.

Дано: $$AB=3$$, $$AD=4$$, $$AA_1=5$$.

Найти: угол между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$ABC$$.

Решение:

$$\angle (AC_1,(ABC))=\angle C_1AC$$

$$\tan \angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC}$$

Рассмотрим прямоугольный $$\triangle ABC$$

$$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$$

$$AC=\sqrt{25}=5$$

$$\tan \angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC}=\frac{5}{5}=1$$

$$\angle C_1AC = arctg(1)=45^\circ$$

Ответ: $$45^\circ$$