б) $$C_{20}^{2} =$$ a) $$C_{10}^{7} =$$ б) $$C_{19}^{4} - C_{18}^{4} =$$ б) $$C_{2x+1}^{2x-1} = 36$$.

Решим данные примеры по комбинаторике.

1. $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

б) $$C_{20}^{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{19 \cdot 20}{2} = 19 \cdot 10 = 190$$

Ответ: 190

а) $$C_{10}^{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 10}{2 \cdot 3} = 4 \cdot 3 \cdot 10 = 120$$

Ответ: 120

б) $$C_{19}^{4} - C_{18}^{4} = \frac{19!}{4! \cdot 15!} - \frac{18!}{4! \cdot 14!} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19}{2 \cdot 3 \cdot 4} - \frac{15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 2 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 19 - 15 \cdot 2 \cdot 17 \cdot 3 = 17 \cdot 3(2 \cdot 19 - 15 \cdot 2) = 17 \cdot 3(38-30) = 17 \cdot 3 \cdot 8 = 17 \cdot 24 = 408$$

Ответ: 408

б) $$C_{2x+1}^{2x-1} = 36$$.

$$C_{2x+1}^{2x-1} = \frac{(2x+1)!}{(2x-1)! \cdot (2x+1-(2x-1))!} = \frac{(2x+1)!}{(2x-1)! \cdot 2!} = \frac{2x \cdot (2x+1)}{2} = x(2x+1) = 36$$

$$2x^2 + x - 36 = 0$$

$$D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 36 = 1 + 8 \cdot 36 = 1 + 288 = 289 = 17^2$$

$$x_1 = \frac{-1+17}{4} = \frac{16}{4} = 4$$

$$x_2 = \frac{-1-17}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$ - не подходит, так как $$x \isin N$$

Ответ: 4