б) ABCD – квадрат. M ∈ (ABC), MA=MB=MC=MD=10 см. Расстояние от точки М до DC равно 8 см. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть O – центр квадрата ABCD. Тогда MO – высота, проведенная из точки M к плоскости квадрата. Расстояние от точки M до стороны DC равно 8 см. Так как ABCD – квадрат, то расстояние от M до DC равно высоте, опущенной из M на DC, то есть 8 см. Это означает, что высота пирамиды MABCD равна 8 см.

В условии сказано, что MA=MB=MC=MD=10 см. Это означает, что точка M равноудалена от вершин квадрата. Центр O квадрата равноудален от вершин. Значит, MO является высотой пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MOD. По теореме Пифагора: \( OD^2 = MD^2 - MO^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \). Отсюда \( OD = \sqrt{36} = 6 \) см.

OD – половина диагонали квадрата. Значит, диагональ \( AC = BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot 6 = 12 \) см.

Площадь квадрата ABCD находится по формуле \( S = \frac{d^2}{2} \), где \( d \) – диагональ.

\( S_{ABCD} = \frac{12^2}{2} = \frac{144}{2} = 72 \) см².

Ответ: 72 см².