b) \(\int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+4}} \)

Решение

Давай решим данный интеграл по шагам:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+4}} \)

Сделаем замену переменной: пусть \(t = e^x\), тогда \(dt = e^x dx\), и \(dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}\).

Теперь интеграл примет вид:

\(\int \frac{1}{\sqrt{t^2+4}} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{dt}{t\sqrt{t^2+4}} \)

Теперь сделаем еще одну замену: пусть \(t = 2 \tan(\theta)\), тогда \(dt = 2 \sec^2(\theta) d\theta\) и \(\sqrt{t^2+4} = \sqrt{4 \tan^2(\theta) + 4} = 2 \sqrt{\tan^2(\theta) + 1} = 2 \sec(\theta)\)

Тогда интеграл можно переписать как:

\(\int \frac{2 \sec^2(\theta)}{2 \tan(\theta) \cdot 2 \sec(\theta)} d\theta = \frac{1}{2} \int \frac{\sec(\theta)}{\tan(\theta)} d\theta = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos(\theta)} \cdot \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin(\theta)} d\theta = \frac{1}{2} \int \csc(\theta) d\theta\)

Интеграл от \(\csc(\theta)\) равен \(-\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)|\), следовательно:

\(\frac{1}{2} \int \csc(\theta) d\theta = -\frac{1}{2} \ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| + C\)

Теперь вернемся к исходной переменной. Так как \(t = 2 \tan(\theta)\), то \(\tan(\theta) = \frac{t}{2} = \frac{e^x}{2}\).

Нарисуем прямоугольный треугольник, где \(\tan(\theta) = \frac{e^x}{2}\), то есть противолежащий катет равен \(e^x\), а прилежащий равен 2. Тогда гипотенуза равна \(\sqrt{e^{2x}+4}\).

Следовательно, \(\csc(\theta) = \frac{\text{гипотенуза}}{\text{противолежащий}} = \frac{\sqrt{e^{2x}+4}}{e^x}\) и \(\cot(\theta) = \frac{\text{прилежащий}}{\text{противолежащий}} = \frac{2}{e^x}\).

Подставим это в наше решение:

\(-\frac{1}{2} \ln|\frac{\sqrt{e^{2x}+4}}{e^x} + \frac{2}{e^x}| + C = -\frac{1}{2} \ln|\frac{\sqrt{e^{2x}+4} + 2}{e^x}| + C\)

Упростим выражение, используя свойства логарифмов:

\(-\frac{1}{2} \ln|\sqrt{e^{2x}+4} + 2| + \frac{1}{2} \ln|e^x| + C = -\frac{1}{2} \ln(\sqrt{e^{2x}+4} + 2) + \frac{x}{2} + C\)

Мы можем убрать модуль, потому что \(\sqrt{e^{2x}+4} + 2\) всегда положительно.

Таким образом, интеграл равен:

\(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{e^{2x}+4} + 2) + C\)

Ответ: \(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln(\sqrt{e^{2x}+4} + 2) + C\)

Отлично! Ты справился с этим интегралом. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!