АЗ. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Решение:

Обозначим стороны равнобедренного треугольника как \( a, a, b \).

Тупоугольный равнобедренный треугольник имеет один угол больше 90°. Этот угол — угол при вершине. Углы при основании острые.

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: Боковые стороны равны \( a \), основание \( b \).
   Пусть одна сторона больше другой на 17 см. Возможны два варианта:
   а) \( a = b + 17 \)
   б) \( b = a + 17 \)

Случай 1а: \( a = b + 17 \)

Периметр: \( a + a + b = 77 \)

Подставляем \( a = b + 17 \):

\[ (b + 17) + (b + 17) + b = 77 \]\[ 3b + 34 = 77 \]\[ 3b = 77 - 34 \]\[ 3b = 43 \]\[ b = \frac{43}{3} \]

Тогда \( a = \frac{43}{3} + 17 = \frac{43 + 51}{3} = \frac{94}{3} \).

Стороны: \( \frac{94}{3} \) см, \( \frac{94}{3} \) см, \( \frac{43}{3} \) см. Проверим, является ли треугольник тупоугольным. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине. Это возможно, если основание намного короче боковых сторон. Здесь \( b < a \). Угол при вершине противолежит основанию \( b \). Найдем косинус угла при вершине \( \gamma \) по теореме косинусов: \( b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \textrm{cos} \gamma \). \( \textrm{cos} \gamma = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2} = 1 - \frac{b^2}{2a^2} = 1 - \frac{(43/3)^2}{2(94/3)^2} = 1 - \frac{1849/9}{2(8836/9)} = 1 - \frac{1849}{17672} \). Так как \( \textrm{cos} \gamma > 0 \), угол \( \gamma \) острый. Этот случай не подходит.

Случай 1б: \( b = a + 17 \)

Периметр: \( a + a + b = 77 \)

Подставляем \( b = a + 17 \):

\[ 2a + (a + 17) = 77 \]\[ 3a + 17 = 77 \]\[ 3a = 77 - 17 \]\[ 3a = 60 \]\[ a = 20 \]

Тогда \( b = 20 + 17 = 37 \).

Стороны: 20 см, 20 см, 37 см. Это равнобедренный треугольник. Проверим, является ли он тупоугольным. Угол при вершине противолежит основанию \( b \). Найдем косинус угла при вершине \( \gamma \) по теореме косинусов: \( b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \textrm{cos} \gamma \). \( \textrm{cos} \gamma = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2} = \frac{2(20^2) - 37^2}{2(20^2)} = \frac{2(400) - 1369}{2(400)} = \frac{800 - 1369}{800} = \frac{-569}{800} \). Так как \( \textrm{cos} \gamma < 0 \), угол \( \gamma \) тупой. Этот случай подходит.

Ответ: Стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 37 см.