1. АЗ. Дано: PE||NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти а) МК; 6) PE:NK; B) SMEP: SMKN.

Решение:

а) Найдем MK:

По теореме о пропорциональных отрезках, если PE || NK, то MP/PN = ME/EK.

Нам дано MP = 8 и MN = 12, следовательно, PN = MN - MP = 12 - 8 = 4.

Также дано ME = 6. Пусть EK = x. Тогда:

\[\frac{8}{4} = \frac{6}{x}\]

Решаем уравнение:

\[8x = 24\] \[x = 3\]

Следовательно, EK = 3. Тогда MK = ME + EK = 6 + 3 = 9.

MK = 9

б) Найдем PE:NK:

Так как PE || NK, то треугольники MEP и MKN подобны по двум углам (угол M общий, углы MEP и MKN равны как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MK).

Значит, PE/NK = MP/MN = ME/MK.

Используем MP/MN:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

PE:NK = 2:3

в) Найдем S_MEP:S_MKN:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k = PE/NK = 2/3.

Тогда:

\[\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

S_MEP:S_MKN = 4:9

Ответ:

a) MK = 9

б) PE:NK = 2:3

в) S_MEP:S_MKN = 4:9