a) 3x + 4 x² −16 = x²/(x² −16); б) 3/(x-5) + 8/x = 2.

Решение задания а)

Давай решим уравнение:

\[\frac{3x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}\]

ОДЗ: x² - 16 ≠ 0, значит x ≠ ±4.

Умножим обе части уравнения на x² - 16 (учитывая ОДЗ, это безопасно):

\[3x + 4 = x^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Здесь удобно применить теорему Виета:

Сумма корней: x₁ + x₂ = 3

Произведение корней: x₁ \cdot x₂ = -4

Подходящие корни: x₁ = 4, x₂ = -1.

Проверим ОДЗ: x ≠ ±4. Значит, x = 4 не подходит.

Остается только один корень: x = -1.

Ответ: x = -1

---

Решение задания б)

Давай решим уравнение:

\[\frac{3}{x - 5} + \frac{8}{x} = 2\]

ОДЗ: x ≠ 5 и x ≠ 0.

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x - 5)}{x(x - 5)} = 2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\] \[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

Умножим обе части уравнения на x² - 5x (учитывая ОДЗ, это безопасно):

\[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\] \[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² - 4ac = (-21)² - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121

√D = √121 = 11

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ (x ≠ 5 и x ≠ 0).

Ответ: x = 8 и x = 2.5

Ты отлично справился с этими уравнениями! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!