3. АВ и CD – перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой ВД. Докажите, что ВС || AD, если АВ = CD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. AB и CD перпендикулярны BD, следовательно, углы ABD и CDB прямые (равны 90°). AB = CD по условию.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них BD – общая сторона, AB = CD по условию, углы ABD и CDB равны 90°.

Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство сторон AD и BC (как соответственные элементы равных треугольников). Значит, четырехугольник ABCD - равнобедренная трапеция, так как AB = CD и AD = BC.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, угол ADB равен углу DBC.

Углы ADB и DBC – внутренние накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей BD. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, BC || AD.

Ответ: BC || AD