ь. ат прямая у = т имеет с графиком ровно две общие 23. Найдите боковую сторону АВ трапеции АВСD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45° и 150°, a CD = 32. 24. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны. 25. В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: КМ = 6:7. Прямая Ак пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего 3 мя. 179

Решение:

1. Шаг 1: Применение теоремы Менелая

   Применим теорему Менелая для треугольника BCM и прямой AK:

   \[\frac{BA}{AM} \cdot \frac{MK}{KC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1\]

   Так как BM - медиана, то AM = MC, следовательно, \(\frac{BA}{AM} = \frac{BC}{MC} = 1\). Из условия BK:KM = 6:7, следовательно \(\frac{MK}{KC} = \frac{7}{6}\).

   Тогда:

   \[1 \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{CP}{PB} = 1\] \[\frac{CP}{PB} = \frac{6}{7}\]
2. Шаг 2: Нахождение отношения BP к BC

   Найдём отношение BP к BC:

   \[\frac{BP}{BC} = \frac{BP}{BP + PC} = \frac{7}{7 + 6} = \frac{7}{13}\]
3. Шаг 3: Вычисление отношения площадей

   Отношение площадей треугольников BKP и ABK:

   \[\frac{S_{BKP}}{S_{ABK}} = \frac{\frac{1}{2} BK \cdot BP \cdot sin(\angle B)}{\frac{1}{2} BK \cdot BA \cdot sin(\angle B)} = \frac{BK}{BM} \cdot \frac{BP}{BA}\]

   Мы знаем, что BK:KM = 6:7, значит BK:BM = 6:(6+7) = 6/13. Также мы нашли, что BP:BC = 7/13.

   Площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC, так как BM - медиана. Следовательно, площадь ABK составляет \(\frac{6}{13}\) от площади ABM, то есть \(\frac{6}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{13}\) от площади ABC.

   Площадь треугольника BKP составляет \(\frac{7}{13}\) от площади BCK. Так как BK составляет \(\frac{6}{13}\) от BM, то площадь BCK составляет \(\frac{6}{13}\) от площади BCM, то есть \(\frac{6}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{13}\) от площади ABC.

   Следовательно, площадь BKP составляет \(\frac{7}{13}\) от \(\frac{3}{13}\) площади ABC, то есть \(\frac{7}{13} \cdot \frac{3}{13} = \frac{21}{169}\) от площади ABC.

   Таким образом, отношение площади BKP к площади ABK:

   \[\frac{S_{BKP}}{S_{ABK}} = \frac{\frac{21}{169}}{\frac{3}{13}} = \frac{21}{169} \cdot \frac{13}{3} = \frac{7}{13}\]

Ответ: \(\frac{7}{13}\)