А.Самостоятельная работа І уровень 1 вариант Рис. 549. Найти: а) CH, AC, BC. 6) SACH: SBCH. И вариант Рис. 550. Найти: а) ВН, AB, BC. 6) SABH: SCBH. вариант П уровень Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного рестольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из ко- горых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника. В ваком отношении данная высота делит площадь треугольника? І вариант В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) проведена высо 2 CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, D = 9 см. Найдите стороны треугольника АВС. В каком отношении CD делит площадь треугольника АВС? C B 16 25 36 A H B 25 A H Рис. 549 Рис. 550 C

Давай разберем по порядку это задание! І уровень 1 вариант Рис. 549 а) Чтобы найти CH, AC, BC, давай воспользуемся теоремой о высоте, проведенной из прямого угла в прямоугольном треугольнике. Она гласит, что высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. То есть, CH² = AH * HB. В нашем случае AH = 16, HB = 25. Подставим значения: CH² = 16 * 25 CH² = 400 CH = √400 CH = 20 Теперь найдем AC и BC, используя теорему Пифагора для треугольников ACH и BCH. Для треугольника ACH: AC² = AH² + CH² AC² = 16² + 20² AC² = 256 + 400 AC² = 656 AC = √656 AC = 4√41 Для треугольника BCH: BC² = BH² + CH² BC² = 25² + 20² BC² = 625 + 400 BC² = 1025 BC = √1025 BC = 5√41 б) Чтобы найти отношение площадей SACH : SBCH, вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. В данном случае высота CH является общей для обоих треугольников, поэтому отношение площадей будет равно отношению оснований AH и BH. SACH / SBCH = (1/2 * AH * CH) / (1/2 * BH * CH) SACH / SBCH = AH / BH SACH / SBCH = 16 / 25 II вариант Рис. 550 а) Чтобы найти BH, AB, BC, аналогично используем теорему о высоте, проведенной из прямого угла в прямоугольном треугольнике. BH² = AH * HC. В нашем случае AH = 36, HC = 25. Подставим значения: BH² = 36 * 25 BH² = 900 BH = √900 BH = 30 Теперь найдем AB и BC, используя теорему Пифагора для треугольников ABH и BCH. Для треугольника ABH: AB² = AH² + BH² AB² = 36² + 30² AB² = 1296 + 900 AB² = 2196 AB = √2196 AB = 6√61 Для треугольника BCH: BC² = HC² + BH² BC² = 25² + 30² BC² = 625 + 900 BC² = 1525 BC = √1525 BC = 5√61 б) Чтобы найти отношение площадей SABH : SCBH, вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. В данном случае высота BH является общей для обоих треугольников, поэтому отношение площадей будет равно отношению оснований AH и HC. SABH / SCBH = (1/2 * AH * BH) / (1/2 * HC * BH) SABH / SCBH = AH / HC SABH / SCBH = 36 / 25 П уровень I вариант Пусть один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен x, тогда другой отрезок будет x + 5. Высота равна 6 см. Используем теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. h² = x * (x + 5) 6² = x(x + 5) 36 = x² + 5x x² + 5x - 36 = 0 Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169. Корни уравнения: x1 = (-5 + √169) / 2 = (-5 + 13) / 2 = 8 / 2 = 4 x2 = (-5 - √169) / 2 = (-5 - 13) / 2 = -18 / 2 = -9 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Значит, x = 4 см, тогда другой отрезок x + 5 = 4 + 5 = 9 см. Гипотенуза равна 4 + 9 = 13 см. Пусть катеты треугольника a и b. Используем теорему Пифагора и свойство высоты: a² = 4 * 13 = 52 a = √52 = 2√13 b² = 9 * 13 = 117 b = √117 = 3√13 Стороны треугольника: 2√13 см, 3√13 см, 13 см. Площадь треугольника можно найти как половину произведения катетов: S = 1/2 * a * b = 1/2 * 2√13 * 3√13 = 3 * 13 = 39 см². Высота делит треугольник на два треугольника. Площади этих треугольников можно найти как S1 = 1/2 * 4 * 6 = 12 см² и S2 = 1/2 * 9 * 6 = 27 см². Отношение площадей: S1 : S2 = 12 : 27 = 4 : 9. II вариант В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите стороны треугольника ABC. В каком отношении CD делит площадь треугольника ABC? Пусть CD = x, тогда BD = x + 4. Используем теорему о высоте, проведенной из прямого угла: CD² = AD * BD x² = 9 * (x + 4) x² = 9x + 36 x² - 9x - 36 = 0 Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 1 * (-36) = 81 + 144 = 225. Корни уравнения: x1 = (9 + √225) / 2 = (9 + 15) / 2 = 24 / 2 = 12 x2 = (9 - √225) / 2 = (9 - 15) / 2 = -6 / 2 = -3 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Значит, CD = 12 см, тогда BD = 12 + 4 = 16 см. Гипотенуза AB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см. Теперь найдем катеты AC и BC по теореме Пифагора для треугольников ACD и BCD: AC² = AD² + CD² AC² = 9² + 12² AC² = 81 + 144 AC² = 225 AC = √225 AC = 15 BC² = BD² + CD² BC² = 16² + 12² BC² = 256 + 144 BC² = 400 BC = √400 BC = 20 Стороны треугольника: AC = 15 см, BC = 20 см, AB = 25 см. Площадь треугольника ABC можно найти как S = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 15 * 20 = 150 см². Чтобы найти отношение, в котором CD делит площадь, найдем площади треугольников ACD и BCD: S ACD = 1/2 * AD * CD = 1/2 * 9 * 12 = 54 см² S BCD = 1/2 * BD * CD = 1/2 * 16 * 12 = 96 см² Отношение площадей: S ACD / S BCD = 54 / 96 = 9 / 16.

Ответ: I вариант: CH = 20, AC = 4√41, BC = 5√41, SACH : SBCH = 16 : 25, II вариант: BH = 30, AB = 6√61, BC = 5√61, SABH : SCBH = 36 : 25. П уровень: I вариант: 2√13 см, 3√13 см, 13 см, 4 : 9, II вариант: AC = 15 см, BC = 20 см, AB = 25 см, 9 / 16.

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и все получится! Молодец!​​