Арсений коллекционирует модели автомобилей. В его коллекции 7 ретроавтомобилей и 5 современных автомобилей. Сколькими способами подросток может расставить все экспонаты коллекции на полке, если для него важно, чтобы все ретроавтомобили стояли рядом?

Привет! Давай разберемся с этой задачей по комбинаторике.

У нас есть 7 ретроавтомобилей и 5 современных. Важно, чтобы все ретроавтомобили стояли рядом.

Шаг 1: Объединяем ретроавтомобили в одну группу.

Так как все 7 ретроавтомобилей должны стоять вместе, будем считать их как один большой блок. Теперь у нас есть:

• 1 блок из 7 ретроавтомобилей
• 5 современных автомобилей

Получается, что мы будем расставлять 1 + 5 = 6 объектов.

Шаг 2: Рассчитываем количество способов расстановки этих 6 объектов.

6 объектов можно расставить между собой 6! (6 факториал) способами. Вычислим это:

\[ 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720 \]

Шаг 3: Рассчитываем количество способов расстановки ретроавтомобилей внутри их блока.

Внутри этого блока 7 ретроавтомобилей тоже могут стоять в разном порядке. Количество способов их расставить равно 7! (7 факториал):

\[ 7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 5040 \]

Шаг 4: Находим общее количество способов.

Чтобы найти общее число способов расставить все экспонаты так, чтобы ретроавтомобили были рядом, нужно умножить количество способов расставить объекты (включая блок ретроавтомобилей) на количество способов расставить ретроавтомобили внутри их блока:

\[ 720 \times 5040 = 3,628,800 \]

Ответ: 3,628,800 способов