1 * Арифметикалық прогрессия құрайтын үш санның қосындысы 21. Егер осы сандарға сәйкес 1; 1 және 5 сандарын қоссақ, геометриялық прогрессия құрайды. Арифметикалық прогрессияның айырымы мен геометриялық прогрессияның еселігі бола алатын сандарды көрсетіңіз A)-2 B) 2 C) D) 4 E)- F) 3

Арифметикалық прогрессия құрайтын үш санның қосындысы 21. Егер осы сандарға сәйкес 1; 1 және 5 сандарын қоссақ, геометриялық прогрессия құрайды. Арифметикалық прогрессияның айырымы мен геометриялық прогрессияның еселігі бола алатын сандарды көрсетейік.

Арифметикалық прогрессияның қасиеті бойынша:

$$a_1 + a_3 = 2 \cdot a_2$$ $$a_1 + a_2 + a_3 = 21$$

Осыдан:

$$3 \cdot a_2 = 21$$ $$a_2 = 7$$ $$a_1 + a_3 = 14$$

Айырмасы d болсын:

$$a_1 = 7 - d$$ $$a_3 = 7 + d$$

Сонда:

$$a_1 + 1, a_2 + 1, a_3 + 5$$ $$8 - d, 8, 12 + d$$

Геометриялық прогрессияның қасиеті бойынша:

$$\frac{8}{8 - d} = \frac{12 + d}{8}$$ $$64 = (8 - d)(12 + d)$$ $$64 = 96 + 8d - 12d - d^2$$ $$d^2 + 4d - 32 = 0$$

Квадрат теңдеуді шешеміз:

$$d = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$$ $$d = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2}$$ $$d = \frac{-4 \pm 12}{2}$$ $$d_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$ $$d_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$$

Арифметикалық прогрессияның айырымы 4 немесе -8 болуы мүмкін.

Енді геометриялық прогрессияның еселігін табамыз:

Егер d = 4 болса, онда геометриялық прогрессия: 4; 8; 16 болады. Еселігі q = 2. Егер d = -8 болса, онда геометриялық прогрессия: 16; 8; 4 болады. Еселігі q = \frac{1}{2}.

Арифметикалық прогрессияның айырымы мен геометриялық прогрессияның еселігі бола алатын сандар: 2 және \frac{1}{2}.

Жауаптар арасында \frac{1}{2} бар.

Ответ: C)